Soru:
\( \sqrt{2} \) sayısının irrasyonel olduğunu olmayana ergi yöntemi ile ispatlayınız.
Çözüm:
💡 Olmayana ergi yöntemine göre, öncelikle ifadenin yanlış olduğunu varsayarız. Yani, \( \sqrt{2} \)'nin rasyonel olduğunu kabul edelim.
- ➡️ Varsayım: \( \sqrt{2} \) rasyoneldir. O halde, aralarında asal olan \( a \) ve \( b \) tam sayıları için \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \) şeklinde yazılabilir.
- ➡️ Eşitliğin her iki tarafının karesini alalım: \( 2 = \frac{a^2}{b^2} \). Buradan \( 2b^2 = a^2 \) elde edilir. Yani, \( a^2 \) bir çift sayıdır.
- ➡️ Bir tam sayının karesi çift ise kendisi de çifttir. O halde \( a \) çifttir ve \( a = 2k \) şeklinde yazılabilir (\( k \) bir tam sayı).
- ➡️ Bu ifadeyi yerine koyalım: \( 2b^2 = (2k)^2 = 4k^2 \). Sadeleştirirsek \( b^2 = 2k^2 \) elde ederiz. Bu da \( b^2 \)'nin ve dolayısıyla \( b \)'nin çift olduğunu gösterir.
- ➡️ Hem \( a \) hem de \( b \) çift sayı ise, \( \frac{a}{b} \) kesri sadeleşebilir demektir. Bu ise \( a \) ve \( b \)'nin aralarında asal olduğu varsayımı ile çelişir.
✅ Varsayımımız yanlıştır. O halde \( \sqrt{2} \) irrasyonel bir sayıdır.
