Soru:
Evrensel küme \( E \), Türkiye'deki tüm illeri içermektedir. \( A \) kümesi Akdeniz Bölgesi'ndeki iller, \( B \) kümesi nüfusu 2 milyondan fazla olan iller olsun. \( (A' \cup B)' \) ifadesi hangi illeri temsil eder? Bu ifadeyi en sade şekilde yazınız.
Çözüm:
💡 Bu soruda, küme işlemlerini ve De Morgan Kuralı'nı kullanarak ifadeyi sadeleştireceğiz. Amacımız, karmaşık görünen ifadenin aslında ne anlama geldiğini bulmaktır.
- ➡️ İlk adım, verilen ifadeyi De Morgan Kuralı ile sadeleştirmektir. Kural: \( (X \cup Y)' = X' \cap Y' \). Bizim ifademiz \( (A' \cup B)' \) şeklindedir. Burada \( X = A' \) ve \( Y = B \) alırsak:
- \( (A' \cup B)' = (A')' \cap B' \)
- ➡️ İkinci adım, bir kümenin tümleyeninin tümleyenini almak o kümeyi verir. Yani \( (A')' = A \).
- ➡️ Bu durumda ifademiz \( A \cap B' \) haline gelir.
- ➡️ Şimdi bu ifadenin anlamını yorumlayalım: \( A \), Akdeniz Bölgesi'ndeki illerdir. \( B' \) ise nüfusu 2 milyondan fazla olmayan (yani 2 milyon veya daha az nüfuslu) illerdir.
- ➡️ Dolayısıyla \( A \cap B' \), Akdeniz Bölgesi'nde olan VE aynı zamanda nüfusu 2 milyondan fazla olmayan illeri temsil eder.
✅ Sonuç: \( (A' \cup B)' = A \cap B' \). Bu ifade, "Akdeniz Bölgesi'nde bulunan ve nüfusu 2 milyonu geçmeyen iller" kümesidir.
