Soru:
Bir firmanın ürettiği cep telefonlarının %5'i bozuktur. Bozuk telefonların %90'ı ve sağlam telefonların %2'si kalite kontrol testinde "hatalı" alarmı vermektedir. Rastgele seçilen bir telefonun testte "hatalı" alarmı verdiği bilindiğine göre, gerçekten bozuk olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
💡 Bu problem için Bayes Teoremi (koşullu olasılığın bir uygulaması) kullanılır. Önce olayları tanımlayalım:
- ➡️ B: Telefonun bozuk olması. \( P(B) = 0.05 \)
- ➡️ S: Telefonun sağlam olması. \( P(S) = 0.95 \)
- ➡️ H: Testin "Hatalı" alarmı vermesi.
- ➡️ Verilenler: \( P(H|B) = 0.90 \), \( P(H|S) = 0.02 \)
- ➡️ İstenen: \( P(B|H) \)
- ➡️ Koşullu olasılık formülü ve toplam olasılık kuralı ile çözelim:
- \( P(B|H) = \frac{P(H|B) \cdot P(B)}{P(H)} \)
- \( P(H) = P(H|B) \cdot P(B) + P(H|S) \cdot P(S) \)
- \( P(H) = (0.90 \times 0.05) + (0.02 \times 0.95) = 0.045 + 0.019 = 0.064 \)
- Şimdi formülde yerine koyalım: \( P(B|H) = \frac{0.90 \times 0.05}{0.064} = \frac{0.045}{0.064} \)
- ➡️ Hesaplayalım: \( \frac{0.045}{0.064} = \frac{45}{64} \)
✅ Sonuç: \( \frac{45}{64} \) veya yaklaşık 0.703'tür. Yani, testten "hatalı" çıkan bir telefonun gerçekten bozuk olma ihtimali yaklaşık %70'tir.
