Şifreleme (Kodlama) soruları (Sayısal mantık)

Bir şifreleme sisteminde, her harf bir rakamı temsil eder. Aynı harf aynı rakamı, farklı harfler farklı rakamları gösterir.

\[ \begin{align*} & ABC \\ + & CBA \\ = & BBCB \end{align*} \]

Buna göre, \( A \times B \times C \) çarpımı kaçtır?

💡 Bu bir cryptarithm problemidir. Üç basamaklı iki sayının toplamı dört basamaklı bir sayı etmektedir. Basamak basamak analiz edeceğiz.

• ➡️ Birler Basamağı: \( C + A = B \) veya \( 10 + B \) (elde var ise). Sonuçtaki birler basamağı \( B \) değil, \( BBCB \)'nin birler basamağı \( B \). Yani \( C + A = B \) (mod 10) ve bir elde \( e1 \) oluşur. \( C + A = 10 \times e1 + B \) ...(1)
• ➡️ Onlar Basamağı: \( B + C + e1 = 10 \times e2 + C \) ...(2) (Çünkü sonuçtaki onlar basamağı \( C \))
  Denklem (2): \( B + e1 = 10 \times e2 \). \( B \) bir rakam, \( e1 \) 0 veya 1. \( B+e1 \) en fazla 10 olabilir. \( B+e1=10 \) ise \( e2=1 \) ve \( B=9, e1=1 \) olur. Veya \( B+e1=0 \) olamaz (B≥1). O halde tek seçenek: \( B=9, e1=1, e2=1 \).
• ➡️ Yüzler Basamağı: \( A + C + e2 = 10 \times e3 + B \) ...(3) (Sonuçtaki yüzler basamağı \( B \))
  \( A + C + 1 = 10 \times e3 + 9 \) -> \( A + C + 1 = 10e3 + 9 \) -> \( A + C = 10e3 + 8 \).
• ➡️ Binler Basamağı: \( e3 = B \) ...(4) (Sonuçtaki binler basamağı \( B \))
  \( e3 = B = 9 \). Ama \( e3 \) bir elde, sadece 0 veya 1 olabilir. Çelişki! \( e3=9 \) olamaz.

🚨 Demek ki bir yerde hata yaptık. Binler basamağı analizini düzeltelim. Toplam dört basamaklı: \( BBCB \). Binler basamağı \( B \), yüzler basamağı \( B \), onlar basamağı \( C \), birler basamağı \( B \).

Yüzler basamağından gelen elde \( e3 \) binler basamağını oluşturur. Yani \( e3 = B \). \( B \) bir rakam (1-9) ve \( e3 \) 0 veya 1 olabilir. O halde \( B = e3 \) olduğundan, \( B \) ya 0 ya da 1 olmalı. Ama \( B \) yüzler basamağı olduğundan 0 olamaz. O halde \( B=1 \) ve \( e3=1 \).

Şimdi denklemleri yeniden yazalım:

• ➡️ (4) nolu denklem: \( e3 = B = 1 \).
• ➡️ (3) nolu denklem (Yüzler): \( A + C + e2 = 10*e3 + B \) -> \( A + C + e2 = 10*1 + 1 = 11 \).
• ➡️ (2) nolu denklem (Onlar): \( B + C + e1 = 10*e2 + C \) -> \( 1 + C + e1 = 10e2 + C \) -> \( 1 + e1 = 10e2 \).
  \( 1+e1 \) ya 1 ya da 2 olur. 10e2 ise 0 veya 10. Eşitlik için \( 1+e1=10 \) olmalı, yani \( e1=9 \) ama bu imkansız (e1=0 veya 1). Veya \( 1+e1=0 \) olamaz. Çelişki!

💡 Demek ki onlar basamağındaki analizimiz hatalı. Sonuç \( BBCB \) olduğuna göre, onlar basamağı \( C \). Onlar basamağındaki toplam: \( B + C + e1 \) (iki sayının onlar basamağı B ve C, artı birlerden gelen elde e1). Bu toplamın son basamağı \( C \) olmalı. Yani \( B + C + e1 = 10*e2 + C \) değil, doğrusu: \( B + C + e1 = 10*e2 + C \) hala geçerli çünkü sonuçtaki onlar basamağı C. Sadeleştirirsek: \( B + e1 = 10*e2 \). B=1 bulmuştuk. \( 1 + e1 = 10*e2 \). e1=0 veya 1. e1=0 ise 1=10e2 -> e2=0.1, olmaz. e1=1 ise 2=10e2 -> e2=0.2, olmaz. Yine çelişki.

🎯 Doğru çözüm için farklı bir strateji: Toplamı cebirsel yazalım.
\( ABC = 100A+10B+C \), \( CBA = 100C+10B+A \).
Toplam = \( 100A+10B+C + 100C+10B+A = 101A + 20B + 101C = 101(A+C) + 20B \).
\( BBCB = 1000B+100B+10C+B = 1101B + 10C \).
Eşitlik: \( 101(A+C) + 20B = 1101B + 10C \) -> \( 101(A+C) = 1101B - 20B + 10C \) -> \( 101(A+C) = 1081B + 10C \).

Bu denklemde A,B,C rakam. Deneme yapalım. B=1 için: \( 101(A+C) = 1081*1 + 10C = 1081 + 10C \) -> \( 101A+101C-10C=1081 \) -> \( 101A+91C=1081 \). A ve C rakam. A=9 için: 909+91C=1081 -> 91C=172 -> C=1.89, olmaz. A=8 için: 808+91C=1081 -> 91C=273 -> C=3. Evet! C=3, A=8, B=1.

Kontrol: \( ABC = 813 \), \( CBA = 318 \), Toplam = \( 813+318=1131 \). \( BBCB = 1131 \). Evet! \( A=8, B=1, C=3 \).

✅ \( A \times B \times C = 8 \times 1 \times 3 = 24 \).