Soru:
Bir gezegeni incelemek için gönderilen bir uzay aracının kütlesi 1000 kg'dır. Bu araç, Dünya'nın 3 katı yarıçapa ve 2 katı kütleye sahip olan bir gezegenin yüzeyinden 500 km yükseklikteki bir yörüngede dönmektedir. Dünya'nın yarıçapı \( R_D = 6400 \ \text{km} \) ve yüzeyindeki yerçekimi ivmesi \( g_D = 10 \ \text{m/s}^2 \) olarak veriliyor. Buna göre, uzay aracının bu yörüngedeki yörünge hızını hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Yörünge hızı formülü \( v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \)'dir. Burada M gezegenin kütlesi, r ise gezegenin merkezinden olan uzaklıktır. Önce bilinen Dünya değerlerinden hedef gezegenin verilerini bulacağız.
- ➡️ Adım 1: Hedef gezegenin parametrelerini bulalım.
Gezegenin kütlesi: \( M_G = 2 M_D \)
Gezegenin yarıçapı: \( R_G = 3 R_D = 3 \times 6400 = 19200 \ \text{km} \).
- ➡️ Adım 2: Uzay aracının yörünge yarıçapını (r) bulalım.
\( r = R_G + \text{yükseklik} = 19200 \ \text{km} + 500 \ \text{km} = 19700 \ \text{km} \).
Bu değeri metre cinsinden yazalım: \( r = 1.97 \times 10^7 \ \text{m} \).
- ➡️ Adım 3: GM ifadesini Dünya üzerinden hesaplayalım.
Dünya için: \( g_D = \frac{GM_D}{R_D^2} = 10 \ \text{m/s}^2 \).
Buradan, \( GM_D = g_D \times R_D^2 = 10 \times (6.4 \times 10^6)^2 = 4.096 \times 10^{14} \).
Gezegen için: \( GM_G = G \times (2M_D) = 2 \times GM_D = 2 \times 4.096 \times 10^{14} = 8.192 \times 10^{14} \).
- ➡️ Adım 4: Yörünge hızını hesaplayalım.
\( v = \sqrt{\frac{GM_G}{r}} = \sqrt{\frac{8.192 \times 10^{14}}{1.97 \times 10^7}} \).
\( v = \sqrt{4.158 \times 10^7} \approx 6448 \ \text{m/s} \).
✅ Sonuç olarak, uzay aracının yörünge hızı yaklaşık 6.45 km/s'dir.
