Soru:
g: ℝ → ℝ, g(x) = 2x + 3 fonksiyonunun bire bir ve örten olup olmadığını araştırınız.
Çözüm:
💡 Reel sayılar üzerinde tanımlı bir doğrusal fonksiyonun bire bir ve örten olup olmadığını anlamak için analitik yöntemler kullanabiliriz.
- ➡️ Bire Birlik Kontrolü: Varsayalım ki \( g(x_1) = g(x_2) \) olsun. Bu durumda \( 2x_1 + 3 = 2x_2 + 3 \) olur. İki taraftan 3 çıkarıp 2'ye bölersek \( x_1 = x_2 \) sonucuna ulaşırız. Görüntüleri eşit olan elemanlar kendileri de eşit olduğu için ✅ fonksiyon bire birdir.
- ➡️ Örtenlik Kontrolü: Fonksiyonun örten olması için değer kümesindeki (ℝ) herhangi bir y elemanı için \( g(x) = y \) olacak şekilde bir x bulunmalıdır. \( y = 2x + 3 \) denklemini x için çözelim: \( x = \frac{y - 3}{2} \). Görüldüğü gibi, değer kümesindeki her y gerçel sayısı için, bu formül bize bir x gerçel sayısı verir. ✅ Fonksiyon örtendir.
✅ Sonuç: \( g(x) = 2x + 3 \) fonksiyonu hem bire bir hem de örtendir.
