Soru:
Kütlesi \( 1 \, \text{kg} \) olan bir bilye, \( 10 \, \text{m/s} \) hızla ilerleyerek, aynı doğrultuda fakat ters yönde \( 5 \, \text{m/s} \) hızla gelen \( 2 \, \text{kg} \) kütleli bir bilyeyle merkezi ve esnek olarak çarpışıyor. Çarpışma sonrası hızları hesaplayınız. (Pozitif yönü ilk bilyenin başlangıç yönü olarak alın.)
Çözüm:
Bu bir baş esnek çarpışma problemidir. Cisimler birbirine zıt yönde hareket ediyor. Momentum ve kinetik enerji korunum denklemlerini yazalım.
- ➡️ Momentumun Korunumu: \( m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2' \)
\( (1)(10) + (2)(-5) = (1)v_1' + (2)v_2' \)
\( 10 - 10 = v_1' + 2v_2' \)
\( 0 = v_1' + 2v_2' \) → \( v_1' = -2v_2' \) (Denklem 1)
- ➡️ Kinetik Enerjinin Korunumu: \( \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1(v_1')^2 + \frac{1}{2}m_B(v_2')^2 \)
\( \frac{1}{2}(1)(10)^2 + \frac{1}{2}(2)(-5)^2 = \frac{1}{2}(1)(v_1')^2 + \frac{1}{2}(2)(v_2')^2 \)
\( 50 + 25 = 0.5(v_1')^2 + (v_2')^2 \)
\( 75 = 0.5(v_1')^2 + (v_2')^2 \) (Denklem 2)
- ➡️ Denklem 1'deki \( v_1' = -2v_2' \) ifadesini Denklem 2'de yerine koyalım:
\( 75 = 0.5(-2v_2')^2 + (v_2')^2 \)
\( 75 = 0.5(4(v_2')^2) + (v_2')^2 \)
\( 75 = 2(v_2')^2 + (v_2')^2 \)
\( 75 = 3(v_2')^2 \)
\( (v_2')^2 = 25 \) → \( v_2' = \pm 5 \, \text{m/s} \)
- ➡️ Hızları yorumlayalım:
Eğer \( v_2' = 5 \, \text{m/s} \) olursa, Denklem 1'den \( v_1' = -2(5) = -10 \, \text{m/s} \) bulunur. Bu, cisimlerin birbirinin içinden geçtiği bir çözümdür ve bu problem bağlamında kabul edilebilir.
Eğer \( v_2' = -5 \, \text{m/s} \) olursa, \( v_1' = -2(-5) = 10 \, \text{m/s} \) olur ki bu da başlangıç durumudur. Bu nedenle fiziksel çözümümüz birincisidir.
✅ Sonuç: \( 1 \, \text{kg} \) kütleli bilyenin hızı \( v_1' = -10 \, \text{m/s} \) (yani başlangıçtaki hareket yönünün tersi) ve \( 2 \, \text{kg} \) kütleli bilyenin hızı \( v_2' = 5 \, \text{m/s} \) (yani başlangıçtaki hareket yönü) olur.
