Soru:
Kütlesi \( m_1 = 2 \, \text{kg} \) olan bir top, \( v_1 = 5 \, \text{m/s} \) hızıyla doğu yönünde hareket ederken, durgun haldeki \( m_2 = 3 \, \text{kg} \) kütleli bir topa merkezi ve esnek bir şekilde çarpıyor. Çarpışmadan sonra her iki topun hızları nedir?
Çözüm:
Bu bir esnek çarpışma problemidir, dolayısıyla hem momentum hem de kinetik enerji korunur. 💡 Bilinmeyenlerimiz çarpışma sonrası hızlar \( v_1' \) ve \( v_2' \).
- ➡️ Momentumun Korunumu: \( m_1v_1 + m_2v_2 = m_1v_1' + m_2v_2' \)
\( (2)(5) + (3)(0) = (2)v_1' + (3)v_2' \)
\( 10 = 2v_1' + 3v_2' \) (Denklem 1)
- ➡️ Kinetik Enerjinin Korunumu: \( \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 = \frac{1}{2}m_1(v_1')^2 + \frac{1}{2}m_2(v_2')^2 \)
\( \frac{1}{2}(2)(5)^2 + 0 = \frac{1}{2}(2)(v_1')^2 + \frac{1}{2}(3)(v_2')^2 \)
\( 25 = (v_1')^2 + 1.5(v_2')^2 \) (Denklem 2)
- ➡️ İki bilinmeyenli iki denklemimiz var. Momentum denkleminden \( v_1' = 5 - 1.5v_2' \) ifadesini elde edip kinetik enerji denkleminde yerine koyalım.
\( (5 - 1.5v_2')^2 + 1.5(v_2')^2 = 25 \)
\( 25 - 15v_2' + 2.25(v_2')^2 + 1.5(v_2')^2 = 25 \)
\( -15v_2' + 3.75(v_2')^2 = 0 \)
\( v_2'(-15 + 3.75v_2') = 0 \)
Buradan \( v_2' = 0 \) (çarpışma öncesi durum, fiziksel olarak anlamsız) veya \( v_2' = 4 \, \text{m/s} \) bulunur.
- ➡️ \( v_2' = 4 \, \text{m/s} \) değerini momentum denkleminde yerine koyarsak:
\( 10 = 2v_1' + (3)(4) \)
\( 10 = 2v_1' + 12 \)
\( 2v_1' = -2 \)
\( v_1' = -1 \, \text{m/s} \)
✅ Sonuç: \( m_1 \) topunun hızı \( v_1' = -1 \, \text{m/s} \) (yani batı yönünde 1 m/s) ve \( m_2 \) topunun hızı \( v_2' = 4 \, \text{m/s} \) (doğu yönünde) olur.
