Soru:
Kütlesi \( 4 \, \text{kg} \) olan bir cisim, \( 6 \, \text{m/s} \) hızla ilerlerken, aynı yönde \( 2 \, \text{m/s} \) hızla giden \( 2 \, \text{kg} \) kütleli bir cisme yetişip esnek olarak çarpıyor. Çarpışmadan sonra cisimlerin hızlarını bulunuz.
Çözüm:
Burada cisimler aynı yönde hareket ediyor. Momentum ve kinetik enerji korunumunu uygulayacağız. Pozitif yönü ilk cismin başlangıç yönü olarak alalım.
- ➡️ Momentumun Korunumu: \( m_Av_A + m_Bv_B = m_Av_A' + m_Bv_B' \)
\( (4)(6) + (2)(2) = (4)v_A' + (2)v_B' \)
\( 24 + 4 = 4v_A' + 2v_B' \)
\( 28 = 4v_A' + 2v_B' \) → İki tarafı 2'ye bölelim: \( 14 = 2v_A' + v_B' \) (Denklem 1)
- ➡️ Kinetik Enerjinin Korunumu: \( \frac{1}{2}m_Av_A^2 + \frac{1}{2}m_Bv_B^2 = \frac{1}{2}m_A(v_A')^2 + \frac{1}{2}m_B(v_B')^2 \)
\( \frac{1}{2}(4)(6)^2 + \frac{1}{2}(2)(2)^2 = \frac{1}{2}(4)(v_A')^2 + \frac{1}{2}(2)(v_B')^2 \)
\( 72 + 4 = 2(v_A')^2 + (v_B')^2 \)
\( 76 = 2(v_A')^2 + (v_B')^2 \) (Denklem 2)
- ➡️ Denklem 1'den \( v_B' = 14 - 2v_A' \). Bunu Denklem 2'de yerine koyalım:
\( 76 = 2(v_A')^2 + (14 - 2v_A')^2 \)
\( 76 = 2(v_A')^2 + (196 - 56v_A' + 4(v_A')^2) \)
\( 76 = 6(v_A')^2 - 56v_A' + 196 \)
\( 6(v_A')^2 - 56v_A' + 120 = 0 \) → Her terimi 2'ye bölelim: \( 3(v_A')^2 - 28v_A' + 60 = 0 \)
- ➡️ İkinci dereceden denklemi çözelim:
Diskriminant: \( \Delta = (-28)^2 - 4(3)(60) = 784 - 720 = 64 \)
\( v_A' = \frac{28 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{28 \pm 8}{6} \)
Buradan iki kök gelir: \( v_A' = \frac{36}{6} = 6 \, \text{m/s} \) ve \( v_A' = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \).
\( v_A' = 6 \, \text{m/s} \) başlangıç hızıdır (fiziksel olarak çarpışma olmamış gibidir). Bu nedenle geçerli çözüm \( v_A' = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \)'dir.
- ➡️ \( v_B' \)'yi bulalım: \( v_B' = 14 - 2 \times (\frac{10}{3}) = 14 - \frac{20}{3} = \frac{42 - 20}{3} = \frac{22}{3} \, \text{m/s} \).
✅ Sonuç: Büyük kütleli cismin çarpışma sonrası hızı \( v_A' = \frac{10}{3} \, \text{m/s} \), küçük kütleli cismin hızı ise \( v_B' = \frac{22}{3} \, \text{m/s} \) olur.
