Kütle çekim test çöz AYT

Dünya'nın kütlesi \( M \), yarıçapı \( R \)'dir. Dünya yüzeyinden \( h = R \) yüksekliğinde bulunan bir uydunun yörünge hızı \( v \) nedir? (Yerçekimi sabiti \( G \) olarak verilmiştir.)

💡 Bu soruda, bir uydunun dairesel yörüngede dolanabilmesi için gereken merkezcil kuvvetin, Dünya'nın uyduya uyguladığı kütle çekim kuvvetine eşit olması prensibini kullanacağız.

• ➡️ 1. Adım: Kuvvetlerin eşitlenmesi. Uydu Dünya'nın merkezinden \( r = R + h = R + R = 2R \) uzaklıktadır.
  \( \frac{m v^2}{r} = G \frac{M m}{r^2} \)
• ➡️ 2. Adım: Kütleler (\( m \)) sadeleşir ve formül düzenlenir.
  \( v^2 = \frac{GM}{r} \)
• ➡️ 3. Adım: \( r = 2R \) değerini yerine koyalım.
  \( v^2 = \frac{GM}{2R} \)
• ➡️ 4. Adım: Her iki tarafın karekökünü alalım.
  \( v = \sqrt{\frac{GM}{2R}} \)

✅ Sonuç: Uydunun yörünge hızı \( v = \sqrt{\frac{GM}{2R}} \) olarak bulunur.