Soru:
Kütleleri \( m \) ve \( 4m \) olan iki cisim, birbirinden \( d \) kadar uzaklıkta durmaktadır. Kütlesi \( m \) olan cisimden \( \frac{d}{3} \) uzaklıkta, bu iki cismin oluşturduğu kütle çekim alan şiddetinin sıfır olduğu biliniyor. Buna göre, cisimler arasındaki \( d \) mesafesi kaç metredir? (Kütle çekim sabiti \( G \), cisimler noktasal kabul edilecektir.)
Çözüm:
💡 Kütle çekim alan şiddetinin sıfır olduğu noktada, her iki cismin o noktada oluşturduğu çekim alan şiddetleri büyüklük olarak eşit ve yön olarak zıt olmalıdır.
- ➡️ 1. Adım: Noktanın konumunu belirleyelim. Kütlesi \( m \) olan cisimden \( x = \frac{d}{3} \) uzakta ise, kütlesi \( 4m \) olan cisimden uzaklığı \( d - x = d - \frac{d}{3} = \frac{2d}{3} \) olur.
- ➡️ 2. Adım: Kütle çekim alan şiddeti formülü \( g = \frac{GM}{r^2} \)'dir. Bu iki alanın büyüklüklerini eşitleyelim.
\( \frac{G m}{x^2} = \frac{G (4m)}{(d-x)^2} \)
- ➡️ 3. Adım: \( G \) ve \( m \) sadeleşir. \( x = \frac{d}{3} \) ve \( d-x = \frac{2d}{3} \) değerlerini yerine koyalım.
\( \frac{1}{(\frac{d}{3})^2} = \frac{4}{(\frac{2d}{3})^2} \)
- ➡️ 4. Adım: İşlemleri yapalım.
\( \frac{1}{\frac{d^2}{9}} = \frac{4}{\frac{4d^2}{9}} \)
\( \frac{9}{d^2} = \frac{4 \cdot 9}{4 d^2} \)
\( \frac{9}{d^2} = \frac{9}{d^2} \)
Bu bir özdeşliktir, yani \( d \) için her değer sağlar. Ancak soru, mesafenin fiziksel olarak var olduğu bir durumu tanımladığı için \( d > 0 \) olmak üzere herhangi bir değer alabilir. Soru, bu konumun mümkün olduğunu göstermektedir.
✅ Sonuç: Verilen koşul, \( d \)'nin herhangi bir pozitif değeri için sağlanır. Bu, alan şiddetinin sıfır olduğu noktanın konumunun kütleler arasındaki mesafeden bağımsız olarak her zaman aynı oranda (\( m \)'den \( d/3 \), \( 4m \)'den \( 2d/3 \) uzakta) olduğunu gösterir.
