Soru:
Dünya etrafında dairesel bir yörüngede dolanan bir uydunun yörünge periyodu \( T \)'dir. Aynı uydunun yörünge yarıçapı 4 katına çıkarılırsa, yeni periyodu \( T' \) kaç \( T \) olur?
Çözüm:
💡 Bu soruyu çözmek için Kepler'in 3. Yasası'nı kullanacağız. Kepler Yasası'na göre, periyodun karesi yörünge yarıçapının küpü ile doğru orantılıdır: \( T^2 \propto r^3 \).
- ➡️ 1. Adım: Kepler yasasını orantı olarak yazalım.
\( \frac{T^2}{r^3} = \text{sabit} \)
- ➡️ 2. Adım: İlk durum ve ikinci durum için bu sabiti eşitleyelim.
\( \frac{T^2}{r^3} = \frac{(T')^2}{(r')^3} \)
- ➡️ 3. Adım: Soruda \( r' = 4r \) verilmiştir. Yerine koyalım.
\( \frac{T^2}{r^3} = \frac{(T')^2}{(4r)^3} \)
- ➡️ 4. Adım: Paydadaki üslü ifadeyi hesaplayalım. \( (4r)^3 = 64r^3 \).
\( \frac{T^2}{r^3} = \frac{(T')^2}{64r^3} \)
- ➡️ 5. Adım: Her iki taraftaki \( r^3 \) ifadeleri sadeleşir.
\( T^2 = \frac{(T')^2}{64} \)
- ➡️ 6. Adım: İçler dışlar çarpımı yapalım.
\( (T')^2 = 64 T^2 \)
- ➡️ 7. Adım: Her iki tarafın karekökünü alalım.
\( T' = 8T \)
✅ Sonuç: Yörünge yarıçapı 4 katına çıktığında, uydunun periyodu 8 katına çıkar. Yani yeni periyot \( T' = 8T \) olur.
