Öncelikle kar fonksiyonunu oluşturalım. Kar, gelirden maliyetin çıkarılmasıyla bulunur. Yani $K(x) = G(x) - C(x)$.
1. Gelir Fonksiyonunu ($G(x)$) Belirleme:
Gelir, satılan ürün adedi ile birim satış fiyatının çarpımıdır. Birim satış fiyatı $P(x) = 200 - x$ TL ve üretilen (satılan) ürün adedi $x$ olduğuna göre:
$G(x) = x \cdot P(x)$
$G(x) = x \cdot (200 - x)$
$G(x) = 200x - x^2$
2. Kar Fonksiyonunu ($K(x)$) Oluşturma:
Maliyet fonksiyonu $C(x) = x^2 - 100x + 2750$ olarak verilmiştir. Kar fonksiyonu:
$K(x) = G(x) - C(x)$
$K(x) = (200x - x^2) - (x^2 - 100x + 2750)$
$K(x) = 200x - x^2 - x^2 + 100x - 2750$
$K(x) = -2x^2 + 300x - 2750$
3. Maksimum Karı Bulma:
Elde ettiğimiz kar fonksiyonu $K(x) = -2x^2 + 300x - 2750$ karesel bir fonksiyondur (parabol). Bu fonksiyonun baş katsayısı $a = -2$ (negatif) olduğu için parabol aşağı doğru açılır ve bir tepe noktası vardır. Bu tepe noktası, fonksiyonun alabileceği en büyük değeri (maksimum karı) verir.
Tepe noktasının $x$-koordinatı $r = \frac{-b}{2a}$ formülü ile bulunur. Burada $a = -2$ ve $b = 300$'dür.
$r = \frac{-300}{2 \cdot (-2)}$
$r = \frac{-300}{-4}$
$r = 75$
Bu, maksimum karın $75$ adet ürün üretildiğinde elde edileceği anlamına gelir. Maksimum kar değerini bulmak için $x = 75$ değerini kar fonksiyonunda yerine koyarız:
$K(75) = -2 \cdot (75)^2 + 300 \cdot (75) - 2750$
$K(75) = -2 \cdot (5625) + 22500 - 2750$
$K(75) = -11250 + 22500 - 2750$
$K(75) = 11250 - 2750$
$K(75) = 8500$
Buna göre, fabrikanın elde edeceği günlük maksimum kar $8500$ TL'dir.
