Soru: $0 < x < \frac{\pi}{2}$ olmak üzere, $\frac{\cos x}{1 + \sin x} = \frac{1}{2}$ olduğuna göre, $\tan x$ değeri kaçtır?
A) $\frac{3}{4}$
B) $\frac{2}{3}$
C) $\frac{1}{\sqrt{3}}$
D) $\frac{1}{2}$
E) $\frac{1}{3}$
Çözüm: Verilen denklemde içler dışlar çarpımı yaparsak, $2\cos x = 1 + \sin x$ elde ederiz. Her iki tarafın karesini alırsak, $4\cos^2 x = (1 + \sin x)^2$ olur. Buradan $4(1 - \sin^2 x) = 1 + 2\sin x + \sin^2 x$ denklemini elde ederiz. Düzenlersek, $5\sin^2 x + 2\sin x - 3 = 0$ olur. Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak, $(5\sin x - 3)(\sin x + 1) = 0$ olur. Buradan $\sin x = \frac{3}{5}$ veya $\sin x = -1$ bulunur. Ancak $0 < x < \frac{\pi}{2}$ aralığında $\sin x = -1$ olamaz. Dolayısıyla $\sin x = \frac{3}{5}$ olmalıdır. Bir dik üçgen çizerek $\cos x = \frac{4}{5}$ olduğunu buluruz. Böylece $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$ olur. Cevap: A
