10. Sınıf Ağırlık Merkezi Kenarortayı Nasıl Böler? (2 ye 1 kuralı)

Question

Kenarortayın ağırlık merkezini hangi oranda böldüğünü anlamaya çalışıyorum. Tepe noktasından ağırlık merkezine olan uzaklık, ağırlık merkezinden kenarın orta noktasına olan uzaklığın iki katı mıdır? Bu 2'ye 1 kuralını şekil üzerinde nasıl uygulayacağımı tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Ağırlık Merkezi ve Kenarortay

Bir üçgende, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Bir üçgenin üç kenarortayı vardır ve bu kenarortaylar bir noktada kesişir. Bu kesişim noktasına üçgenin ağırlık merkezi adı verilir. Ağırlık merkezi genellikle G harfi ile gösterilir.

2'ye 1 Kuralı (İkiye Bir Oranı)

Ağırlık merkezinin en önemli özelliği, her kenarortayı belirli bir oranda bölmesidir. Bu orana 2'ye 1 kuralı denir.

Kural şunu söyler:

• Ağırlık merkezi (G noktası), bir kenarortayı, köşeye yakın olan kısmı kenara yakın olan kısmının 2 katı olacak şekilde böler.

Yani, bir kenarortay üzerinde:

• Köşeden ağırlık merkezine (G) olan uzaklık,
• Ağırlık merkezinden (G) kenarın orta noktasına olan uzaklığın 2 katıdır.

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( |AG| = 2 \cdot |GD| \)

\( |BG| = 2 \cdot |GE| \)

\( |CG| = 2 \cdot |GF| \)

Bu durum, ağırlık merkezinin kenarortay üzerindeki konumunu tam olarak belirler. Bir kenarortayın toplam uzunluğu 3 birim kabul edilirse, ağırlık merkezi bu doğru parçasını 2 birim ve 1 birimlik iki parçaya ayırır.

Örnek

Bir ABC üçgeninde [AD] kenarortay olsun ve |AD| = 12 cm olsun. Ağırlık merkezi G noktası olduğuna göre:

• |AG| = \( \frac{2}{3} \cdot |AD| = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 \) cm
• |GD| = \( \frac{1}{3} \cdot |AD| = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 \) cm

Görüldüğü gibi 8 cm, 4 cm'nin 2 katıdır ve |AG| = 2 · |GD| kuralı sağlanmaktadır.

Önemli Not: Bu kural, üçgenin çeşidine (ikizkenar, eşkenar, dik) bakılmaksızın tüm üçgenler için geçerlidir.

Answer 2

10. Sınıf Ağırlık Merkezi Kenarortayı Bölen Oran Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde G ağırlık merkezidir. A köşesinden çizilen kenarortay [BC] kenarını D noktasında kesmektedir. |AG| = 8 cm olduğuna göre, |GD| ve |AD| uzunlukları aşağıdakilerden hangisidir?
a) |GD| = 4 cm, |AD| = 12 cm
b) |GD| = 8 cm, |AD| = 16 cm
c) |GD| = 2 cm, |AD| = 10 cm
d) |GD| = 6 cm, |AD| = 14 cm
e) |GD| = 5 cm, |AD| = 13 cm
Cevap: a) |GD| = 4 cm, |AD| = 12 cm
Çözüm: Ağırlık merkezi, kenarortayı tepe noktasından itibaren 2'ye 1 oranında böler. |AG| : |GD| = 2 : 1'dir. |AG| = 8 cm ise, |GD| = 4 cm ve |AD| = |AG| + |GD| = 8 + 4 = 12 cm olur.

Soru 2: Ağırlık merkezi G noktası olan bir üçgende, bir kenarortayın toplam uzunluğu 24 cm'dir. Buna göre, G noktasının bu kenarortay üzerinde köşeye ve kenara olan uzaklıkları farkı (\( |AG| - |GD| \)) kaç cm'dir?
a) 4 cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 12 cm
e) 16 cm
Cevap: c) 8 cm
Çözüm: Kenarortay uzunluğu |AD| = 24 cm'dir. |AG| = \( \frac{2}{3} \times 24 = 16 \) cm, |GD| = \( \frac{1}{3} \times 24 = 8 \) cm'dir. Farkları ise 16 - 8 = 8 cm'dir.

Soru 3: Ağırlık merkezi G olan bir dik üçgende, hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu 15 cm'dir. Buna göre, G noktasının hipotenüsün orta noktasına olan uzaklığı kaç cm'dir?
a) 3 cm
b) 5 cm
c) 7.5 cm
d) 10 cm
e) 12.5 cm
Cevap: b) 5 cm
Çözüm: Hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu |AD| = 15 cm'dir. Ağırlık merkezi, kenarortayı tepe noktasından 2 birim, kenardan 1 birim uzaklıkta böler. Kenara olan uzaklık |GD|, kenarortay uzunluğunun \( \frac{1}{3} \)'üdür. |GD| = \( \frac{1}{3} \times 15 = 5 \) cm.

Soru 4: Bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G'dir. [BC] kenarının orta noktası D'dir. |GD| = \( 2\sqrt{3} \) cm olduğuna göre, A köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu (\( |AD| \)) kaç cm'dir?
a) \( 4\sqrt{3} \)
b) \( 5\sqrt{3} \)
c) \( 6\sqrt{3} \)
d) \( 8\sqrt{3} \)
e) \( 9\sqrt{3} \)
Cevap: c) \( 6\sqrt{3} \)
Çözüm: Ağırlık merkezi kuralına göre |AG| : |GD| = 2 : 1'dir. |GD| = \( 2\sqrt{3} \) cm ise, |AG| = \( 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) cm olur. Kenarortayın tamamı |AD| = |AG| + |GD| = \( 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \) cm