Kök içindeki bir sayıyı sadeleştirmek, kökün içindeki mümkün olan en büyük tam kare sayıyı dışarı çıkarma işlemidir. Bu, ifadeyi daha basit ve anlaşılır bir hale getirir.
Sadeleştirme işlemi için şu adımlar izlenir:
72'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2^3 \times 3^2 \)
\( \sqrt{72} = \sqrt{2^3 \times 3^2} = \sqrt{(2^2 \times 3^2) \times 2} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{3^2} \times \sqrt{2} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} \)
Sonuç: \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)
98'i asal çarpanlarına ayıralım: \( 98 = 2 \times 7^2 \)
\( \sqrt{98} = \sqrt{2 \times 7^2} = \sqrt{7^2} \times \sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)
Sonuç: \( \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \)
200'ü asal çarpanlarına ayıralım: \( 200 = 2^3 \times 5^2 \)
\( \sqrt{200} = \sqrt{(2^2 \times 5^2) \times 2} = \sqrt{2^2} \times \sqrt{5^2} \times \sqrt{2} = 2 \times 5 \times \sqrt{2} \)
Sonuç: \( \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \)
Kök dışına çıkardığınız sayı ile kök içinde kalan sayıyı çarpmayı unutmayın. Örneğin, \( \sqrt{72} \) ifadesinin sadeleşmiş hali \( 6\sqrt{2} \) yani \( 6 \times \sqrt{2} \)'dir.
Sayıyı asal çarpanlarına ayırmak istemezseniz, kök içindeki sayıyı bölen en büyük tam kare sayıyı arayabilirsiniz.
Soru 1: \(\sqrt{72}\) ifadesinin sadeleştirilmiş hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(6\sqrt{2}\) b) \(8\sqrt{3}\) c) \(2\sqrt{18}\) d) \(3\sqrt{8}\) e) \(36\sqrt{2}\)
Cevap: a) \(6\sqrt{2}\)
Çözüm: 72 sayısı 36 x 2 şeklinde yazılabilir. \(\sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) olur.
Soru 2: \(\sqrt{288}\) sayısı aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılarak sadeleştirilebilir?
a) 144 x 2 b) 72 x 4 c) 48 x 6 d) 96 x 3 e) 24 x 12
Cevap: a) 144 x 2
Çözüm: 288 sayısının çarpanları arasında tam kare olan en büyük sayı 144'tür (12²). \(\sqrt{144 \times 2} = 12\sqrt{2}\) şeklinde sadeleşir.
Soru 3: \(\sqrt{180}\) sayısının sadeleştirilmiş hali \(a\sqrt{b}\) şeklindedir. Buna göre \(a + b\) kaçtır?
a) 15 b) 11 c) 8 d) 17 e) 13
Cevap: c) 8
Çözüm: 180 = 36 x 5'tir. \(\sqrt{36 \times 5} = 6\sqrt{5}\). Buradan \(a=6\) ve \(b=5\) olur. \(a + b = 6 + 5 = 11\) değil, 8 değildir. Ancak seçeneklerde 8 var, bu nedenle soruya dikkat: 180 = 4 x 45 değil, 36 x 5. 6√5 için 6+5=11 olur ama 11 seçeneği de var. Soruya tekrar bakıldığında: 180 = 36 x 5, 6√5, a+b=11. Ancak cevap anahtarı c) 8 demiş. Burada bir çelişki var. Doğrusu: 180'i 36*5 yerine 9*20 olarak alsak: √(9*20)=3√20, bu da 3√(4*5)=6√5 yine aynı. a+b=11. Seçeneklerde 11 olduğu için cevap b) 11 olmalıdır. Soru hatalı gibi. Ancak kural gereği verilen cevaba göre çözüm yazılmalı. Bu nedenle düzeltme: 180 = 4 x 45, √4=2, √45=√(9*5)=3√5, sonuç 2*3√5=6√5, a+b=6+5=11. Cevap b) 11 olmalı.
Soru 4: \(\sqrt{125} - \sqrt{45}\) işleminin sonucu kaçtır?
a) \(2\sqrt{5}\) b) \(3\sqrt{5}\) c) \(4\sqrt{5}\) d) \(5\sqrt{5}\) e) \(6\sqrt{5}\)
Cevap: a) \(2\sqrt{5}\)
Çözüm: Önce kökleri sadeleştirelim: \(\sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}\), \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}\). İşlem: \(5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}\).
