10. Sınıf İç Açıortay Teoremi

Question

Ders kitabında ve internetteki bazı kaynaklarda farklı şekillerde anlatıldığını gördüm. Bir üçgende kenarların oranını bulurken hangi formülü kullanmam gerektiğini karıştırıyorum. Özellikle sorularda iç açıortayın kestiği kenar parçalarının uzunluklarını bulmakta zorlanıyorum.

Answer 1

İç Açıortay Teoremi

Bir üçgende, bir açının açıortayı, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler. Bu önemli teoremi anlamak, geometri problemlerini çözmekte bize büyük kolaylık sağlar.

Teoremin İfadesi

ABC üçgeninde [AN], A açısının açıortayı olsun. Bu açıortay, [BC] kenarını N noktasında keser. İç Açıortay Teoremi'ne göre:

\( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BN|}{|NC|} \)

Yani, açıortayın kestiği kenarın parçalarının uzunlukları oranı, bu parçalara komşu olan kenarların uzunlukları oranına eşittir.

Örnek ve İspat Fikri

Aşağıdaki şekli inceleyerek teoremi daha iyi anlayabiliriz:

Üçgen: ABC
Açıortay: [AN], A açısını iki eşit parçaya böler (\( \angle{BAN} = \angle{NAC} \))
Sonuç: \( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BN|}{|NC|} \)

Bu teoremin ispatını, benzerlik (A.A. benzerlik teoremi) kullanarak yapabiliriz. Açıortayın oluşturduğu eşit açıları kullanarak iki farklı üçgen çizer ve bu üçgenlerin benzer olduğunu gösteririz.

Örnek Problem ve Çözümü

Problem: ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 15 cm'dir. [AN], A açısının açıortayı olduğuna göre |BN| ve |NC| uzunluklarını bulunuz.

Çözüm:

• İç Açıortay Teoremi'ni yazalım: \( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BN|}{|NC|} \)
• Verilen değerleri yerine koyalım: \( \dfrac{12}{8} = \dfrac{|BN|}{|NC|} \)
• Sadeleştirelim: \( \dfrac{3}{2} = \dfrac{|BN|}{|NC|} \)
• Oranı kullanarak |BN| = 3k ve |NC| = 2k diyebiliriz.
• |BN| + |NC| = |BC| olduğundan: 3k + 2k = 15 → 5k = 15 → k = 3
• Sonuç: |BN| = 3k = 3 * 3 = 9 cm, |NC| = 2k = 2 * 3 = 6 cm

Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Teorem sadece iç açıortay için geçerlidir. Dış açıortay için ayrı bir teorem vardır.
• Oranı doğru kurmak çok önemlidir. Açıortayın ayırdığı kenar parçaları, kendilerine komşu olan kenarlarla orantılıdır.
• Problemlerde, bilinmeyen uzunlukları bulmak için oran-orantı ve denklem kurma becerisi gerektirir.

Answer 2

10. Sınıf İç Açıortay Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 12 cm, |AC| = 18 cm'dir. A köşesinden çıkan iç açıortay [BC] kenarını D noktasında kesmektedir. |BD| = 8 cm olduğuna göre, |DC| uzunluğu kaç cm'dir?
a) 10   b) 12   c) 14   d) 16   e) 18
Cevap: B) 12
Çözüm: İç Açıortay Teoremi'ne göre |BD|/|DC| = |AB|/|AC| bağıntısı vardır. 8/|DC| = 12/18 → 8/|DC| = 2/3 → 2.|DC| = 24 → |DC| = 12 cm bulunur.

Soru 2: Aşağıdaki şekilde [AN], ABC üçgeninin A köşesine ait iç açıortaydır. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BC| = 20 cm olduğuna göre, |BN| uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6   b) 8   c) 10   d) 12   e) 14
Cevap: B) 8
Çözüm: İç Açıortay Teoremi uygulanır: |BN|/|NC| = |AB|/|AC| = 10/15 = 2/3. |BN| = 2k, |NC| = 3k dersek, |BN| + |NC| = |BC| olduğundan 2k + 3k = 20 → 5k = 20 → k = 4 cm. Sonuç olarak, |BN| = 2k = 2.4 = 8 cm bulunur.

Soru 3: Bir ABC üçgeninde [AD], A açısının açıortayıdır. |AB| = 6 cm, |BD| = 4 cm ve |DC| = 5 cm olduğuna göre, |AC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 5,5   b) 6,5   c) 7   d) 7,5   e) 8
Cevap: D) 7,5
Çözüm: İç Açıortay Teoremi'nden |BD|/|DC| = |AB|/|AC| bağıntısı yazılır. Verilen değerler yerine konulur: 4/5 = 6/|AC|. İçler dışlar çarpımı yapılırsa 4.|AC| = 5.6 → 4.|AC| = 30 → |AC| = 30/4 = 7,5 cm elde edilir.