Geometride, bir dik üçgende kenarlar arasındaki çok özel bir bağlantıyı ifade eder. Bu bağlantı, ünlü Pisagor Teoremi'nin özel ve pratik bir uygulamasıdır.
Bir dik üçgenin kenar uzunlukları, tam sayılardan oluşuyor ve Pisagor Bağıntısı'nı sağlıyorsa, bu kenar üçlüsüne "Muhteşem Üçlü" veya "Pisagor Üçlüsü" denir.
Bir dik üçgende, dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir.
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Burada;
En çok karşılaşılan ve bilinen muhteşem üçlüler şunlardır:
Önemli bir nokta, bir muhteşem üçlünün her kenarını aynı pozitif tam sayı ile çarparsak, yeni oluşan üçlü de bir muhteşem üçlü olur.
Örneğin, 3-4-5 üçlüsünün 2 katını alırsak:
Benzer şekilde 3 katı (9-12-15), 4 katı (12-16-20) gibi üçlüler de geçerlidir.
Bir soruda kenar uzunlukları verilen bir üçgenin dik üçgen olup olmadığı soruluyorsa, öncelikle bu sayıların bilinen bir muhteşem üçlü veya onun katı olup olmadığına bakmak işimizi kolaylaştırır.
Soru 1: Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenar (hipotenüs) 10 cm ve dar açılardan birinin tanjant değeri 4/3'tür. Buna göre, bu üçgenin dik kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisidir?
a) 3 cm ve 4 cm
b) 5 cm ve 12 cm
c) 6 cm ve 8 cm
d) 7 cm ve 24 cm
e) 8 cm ve 15 cm
Cevap: c) 6 cm ve 8 cm
Çözüm: Tanjant = Karşı dik kenar / Komşu dik kenar = 4/3'tür. Kenarlar 4k ve 3k olarak alınırsa, Pisagor teoremine göre hipotenüs 5k olur. 5k = 10 cm ise k=2 cm'dir. Bu durumda dik kenarlar 4*2=8 cm ve 3*2=6 cm olur.
Soru 2: Aşağıdaki ABC dik üçgeninde |AB| = 5 cm, |AC| = 13 cm'dir. B açısının sinüs değeri nedir?
a) 5/13
b) 12/13
c) 5/12
d) 13/5
e) 12/5
Cevap: b) 12/13
Çözüm: Hipotenüs |AC| = 13 cm'dir. Pisagor teoreminden |BC| = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm bulunur. Sin(B) = Karşı dik kenar / Hipotenüs = |AC|'ye göre komşu olan |AB| değil, B açısının karşısındaki kenar |AC|'dir. B açısının karşısındaki kenar |AC| değil, |AC| hipotenüstür. B açısının karşısındaki kenar |AC| değildir. Doğrusu: B açısının karşısındaki kenar |AC| değil, |BC|'dir. Sin(B) = (B'nin karşısındaki kenar) / Hipotenüs = |AC|? Hayır. Soruda verilenlere göre; |AB|=5, |AC|=13 ise hipotenüs 13 cm'dir. |BC| kenarı Pisagor'dan 12 cm olur. B açısının karşısındaki kenar |AC| değil, |BC|'dir. Sin(B) = |BC| / |AC| = 12/13'tür.
Soru 3: Bir mühendis, yerden 24 metre yükseklikteki bir platforma ulaşmak için 25 metre uzunluğunda bir merdiveni binaya dayıyor. Merdivenin alt ucu binadan kaç metre uzakta olmalıdır ve merdivenin binayla yaptığı açının kosinüs değeri nedir?
a) 7 m, 7/25
b) 7 m, 24/25
c) 10 m, 24/25
d) 10 m, 7/25
e) 24 m, 7/25
Cevap: a) 7 m, 7/25
Çözüm: Bu bir dik üçgen problemidir. Hipotenüs (merdiven) = 25 m, karşı dik kenar (yükseklik) = 24 m'dir. Pisagor teoreminden, merdivenin binaya uzaklığı (komşu dik kenar) = √(25² - 24²) = √(625 - 576) = √49 = 7 m'dir. Açının kosinüsü = Komşu dik kenar / Hipotenüs = 7/25'tir.
Soru 4: \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \) olmak üzere, \( \sin\alpha = \frac{2\sqrt{6}}{7} \) ise, \( \tan\alpha \) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \frac{2\sqrt{6}}{5} \)
b) \( \frac{12}{5} \)
c) \( \frac{2\sqrt{10}}{7} \)
d) \( \frac{4\sqrt{6}}{5} \)
e) \( \frac{12\sqrt{6}}{35} \)
