Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamının, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşit olduğunu ifade eden çok önemli bir matematik kuralıdır.
Bir dik üçgende dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir ve üçgenin en uzun kenarıdır. Dik açıyı oluşturan kenarlara ise dik kenarlar denir.
Teoremin formülü şu şekildedir:
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Burada;
Bir problem çözerken şu adımları takip edebilirsiniz:
Dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulalım.
Çözüm:
Formül: \( a^2 + b^2 = c^2 \)
\( 3^2 + 4^2 = c^2 \)
\( 9 + 16 = c^2 \)
\( 25 = c^2 \)
\( c = \sqrt{25} \)
\( c = 5 \) cm
Hipotenüsün uzunluğu 5 cm'dir.
Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için de bu teoremi kullanabiliriz. Kenar uzunlukları verilen bir üçgende, en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse bu üçgen bir dik üçgendir.
Örneğin, kenar uzunlukları 5 cm, 12 cm ve 13 cm olan bir üçgeni inceleyelim:
\( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \)
\( 13^2 = 169 \)
Eşitlik sağlandığı için bu bir dik üçgendir.
Soru 1: Bir dik üçgenin dik kenarlarından birinin uzunluğu 12 cm, hipotenüsünün uzunluğu ise 15 cm'dir. Buna göre, diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6 cm
b) 7 cm
c) 8 cm
d) 9 cm
e) 10 cm
Cevap: d) 9 cm
Çözüm: Pisagor teoremine göre: \( hipotenüs^2 = dikKenar_1^2 + dikKenar_2^2 \). Verilenleri yerine koyalım: \( 15^2 = 12^2 + x^2 \). Buradan \( 225 = 144 + x^2 \) ve \( x^2 = 81 \) olur. \( x = \sqrt{81} = 9 \) cm bulunur.
Soru 2: Yerden 8 metre yükseklikteki bir pencereye dayanan merdivenin alt ucu, duvarın tabanından 6 metre uzaktadır. Buna göre, bu merdivenin boyu kaç metredir?
a) 10 m
b) 12 m
c) 14 m
d) 16 m
e) 18 m
Cevap: a) 10 m
Çözüm: Merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Dik kenarlar 8 m ve 6 m'dir. Hipotenüs (merdivenin boyu) Pisagor teoremi ile bulunur: \( x^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \). \( x = \sqrt{100} = 10 \) metre.
Soru 3: Kenar uzunlukları 6 cm, 10 cm ve 14 cm olan bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını nasıl anlarsınız?
a) En büyük kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamına eşittir.
b) En küçük kenarın karesi, diğer kenarların kareleri toplamına eşittir.
c) Kenar uzunluklarının toplamı 30'dan büyüktür.
d) Kenarlardan biri diğer ikisinin toplamından büyüktür.
e) Hiçbiri, çünkü bu bir dik üçgen değildir.
Cevap: e) Hiçbiri, çünkü bu bir dik üçgen değildir.
Çözüm: Bir üçgenin dik üçgen olması için en uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşit olmalıdır. \( 14^2 = 196 \), \( 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136 \). \( 196 \neq 136 \) olduğu için bu üçgen dik üçgen değildir.
Soru 4: Bir dikdörtgenin köşegen uzunluğu 25 cm'dir. Dikdörtgenin kısa kenarı 7 cm olduğuna göre, uzun kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 18 cm
b) 20 cm
c) 22 cm
d) 24 cm
e) 26 cm
Cevap: d) 24 cm
Çözüm: Köşegen, dikdörtgeni iki eş dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenin hipotenüsü köşegen (25 cm), dik kenarları ise dikdörtgenin kenarlarıdır (7 cm ve x cm). Pisagor teoremi uygulanır: \( 25^2 = 7^2 + x^2 \). \( 625 = 49 + x^2 \). \( x^2 = 576 \). \( x = \sqrt{576} = 24 \) cm.
