10. Sınıf sin²α + cos²α = 1 Özdeşliği

Question

Sinüs ve kosinüsün karelerini topladığımızda neden her zaman 1 sonucunu aldığımı anlamakta zorlanıyorum. Bu formülün ispatını ve farklı soru tiplerinde nasıl kullanıldığını basitçe öğrenmek istiyorum.

Answer 1

sin²α + cos²α = 1 Özdeşliği

Trigonometrinin en temel ve en önemli özdeşliklerinden biri sin²α + cos²α = 1 özdeşliğidir. Bu özdeşlik, bir açının sinüs ve kosinüs değerleri arasındaki ilişkiyi gösterir.

Özdeşliğin İspatı

Bu özdeşliği ispatlamak için birim çemberi kullanabiliriz.

• Merkezi orijinde (0,0) ve yarıçapı 1 birim olan bir çember düşünelim.
• Bu çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları (cosα, sinα)'dır.
• Bir noktanın orijine olan uzaklığını veren formül: \(\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}\)
• Birim çemberde bu uzaklık her zaman yarıçapa, yani 1'e eşittir.
• Noktanın koordinatlarını (cosα, sinα) olarak yerine koyalım:

\(\sqrt{(\cosα)^2 + (\sinα)^2} = 1\)

Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak:

\((\cosα)^2 + (\sinα)^2 = 1^2\)

Yani,

\(\boldsymbol{\sin^2α + \cos^2α = 1}\)

Özdeşliğin Önemi ve Kullanım Alanları

• Bu özdeşlik, bir trigonometrik oranı diğeri cinsinden ifade etmek için kullanılır.
• Bir açının sinüs değeri biliniyorsa, kosinüs değerini (veya tam tersi) bulmamızı sağlar.
• Trigonometrik ifadeleri sadeleştirmede çok faydalıdır.
• Diğer birçok trigonometrik özdeşliğin ve formülün temelini oluşturur.

Örnek Soru ve Çözümü

Soru: \(\sinα = \frac{3}{5}\) ise, \(\cosα\) değerini bulunuz. (α dar açıdır)

Çözüm:

sin²α + cos²α = 1 özdeşliğini kullanalım.

\((\frac{3}{5})^2 + \cos^2α = 1\)

\(\frac{9}{25} + \cos^2α = 1\)

\(\cos^2α = 1 - \frac{9}{25}\)

\(\cos^2α = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)

Her iki tarafın karekökünü alırsak:

\(\cosα = \pm \frac{4}{5}\)

Soruda α'nın dar açı olduğu belirtildiği için kosinüs değeri pozitiftir.

Sonuç: \(\boldsymbol{\cosα = \frac{4}{5}}\)

Not: Eğer açının hangi bölgede olduğu belirtilmemişse, kosinüs değeri için hem + hem de - ihtimallerini değerlendirmek gerekir.