Trigonometri, üçgenlerin kenar uzunlukları ile açıları arasındaki ilişkiyi inceleyen matematik dalıdır. Dik üçgenlerde, belirli açılar için kenar oranları sabittir ve bu oranlara trigonometrik oranlar denir.
Bir dik üçgende, bir açı \( 90^\circ \) (dik açı) olmak üzere üç açı vardır. Trigonometrik oranları tanımlarken şu kenarları kullanırız:
Aşağıdaki üçgende \( A \) açısını ele alalım:
Bir dar açının ( \( 0^\circ \) ile \( 90^\circ \) arası) üç temel trigonometrik oranı vardır:
\( \sin(A) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{a}{c} \)
\( \cos(A) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{b}{c} \)
\( \tan(A) = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Komşu Kenar}} = \frac{a}{b} \)
Kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 birim olan bir dik üçgen düşünelim. Hipotenüs 5 birimdir. En küçük açıya ( \( \alpha \) diyelim) bakalım. Bu açının karşısında 3 birimlik kenar, komşusunda ise 4 birimlik kenar vardır.
Bu oranlar, bir açının değerini bildiğimizde kenar uzunluklarını bulmamızı veya kenar uzunluklarını bildiğimizde açıların ölçüsünü hesaplamamızı sağlar. Bu da trigonometriyi mühendislikten astronomiye kadar birçok alanda vazgeçilmez kılar.
Soru 1: Bir mühendis, 20 metre uzunluğundaki bir merdiveni güvenli bir şekilde yerleştirmek için merdivenin tabanının duvara olan uzaklığının, merdivenin yüksekliğinin \( \frac{3}{4} \)'ü kadar olması gerektiğini hesaplıyor. Buna göre, merdivenin duvara dayalı olduğu noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18
Cevap: D
Çözüm: Taban uzaklığına 3k, yüksekliğe 4k diyelim. Pisagor teoremine göre: \( (3k)^2 + (4k)^2 = 20^2 \) → \( 9k^2 + 16k^2 = 400 \) → \( 25k^2 = 400 \) → \( k^2 = 16 \) → \( k = 4 \). Yükseklik = \( 4k = 16 \) metre.
Soru 2: Şekildeki ABC dik üçgeninde, \( m(\widehat{BAC}) = \theta \) ve \( \tan\theta = \frac{4}{3} \)'tür. A noktasından [BC] kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu 9,6 cm olduğuna göre, |BC| hipotenüsünün uzunluğu kaç cm'dir?
a) 15 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25
Cevap: E
Çözüm: \( \tan\theta = \frac{4}{3} \) ise karşı kenar 4k, komşu kenar 3k, hipotenüs 5k'dır. Dik üçgende yükseklik formülü: \( \frac{3k \cdot 4k}{5k} = 9,6 \) → \( \frac{12k}{5} = 9,6 \) → \( 12k = 48 \) → \( k = 4 \). Hipotenüs = \( 5k = 20 \) cm değil, soruda A'dan [BC]'ye çizilen yükseklik verilmiş. Alan üzerinden: \( \frac{3k \cdot 4k}{2} = \frac{5k \cdot 9,6}{2} \) → \( 12k^2 = 24k \) → \( k = 2 \). Hipotenüs = \( 5k = 10 \) cm? Kontrol: \( \frac{3k \cdot 4k}{2} = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 \), \( \frac{5k \cdot 9,6}{2} = \frac{10 \cdot 9,6}{2} = 48 \) → Eşit değil. Düzeltme: Yükseklik = \( \frac{ab}{c} = \frac{3k \cdot 4k}{5k} = \frac{12k}{5} = 9,6 \) → \( 12k = 48 \) → \( k = 4 \). Hipotenüs = \( 5k = 20 \) cm. Cevap C olmalı. Ancak soruda "A noktasından [BC] kenarına çizilen yükseklik" ifadesi ile [BC] hipotenüstür. Yükseklik = \( \frac{3k \cdot 4k}{5k} = \frac{12k}{5} = 9,6 \) → \( k=4 \), |BC| = \( 5k = 20 \). Cevap C. Fakat şıklarda 20 var (C). Soru hazırlarken cevap E (25) yazılmış. Düzeltelim: Cevap C (20). Ancak mevcut şıklar için doğru hesap: \( \frac{12k}{5} = 9,6 \) → \( k=4 \), |BC|=5k=20. Cevap C.
Soru 3: Birim çember üzerinde, apsisi ordinatının 2 katına eşit olan bir P noktası alınıyor. Buna göre, P noktasının orijine uzaklığı 1 birim olduğuna göre, \( \sin\alpha \) değeri kaçtır? (α, P noktasının başlangıç kenarı x-ekseni olan açısıdır.)
a) \( \frac{\sqrt{5}}{5
