9. Sınıf Bire Bir Fonksiyon Nedir?

Question

Bire bir fonksiyon, tanım kümesindeki her farklı elemanın değer kümesinde de farklı bir elemana eşlendiği fonksiyonlara denir. Yani, farklı x değerleri için f(x) değerleri de farklı olmalı. Örneğin, f(x) = 2x bire bir fonksiyondur çünkü her x için farklı bir sonuç verir. Ancak f(x) = x² bire bir değildir, çünkü hem 2 hem de -2 aynı çıktıyı (4) verir.

Answer 1

Bire Bir (İçine) Fonksiyon Nedir?

Bir fonksiyonun bire bir (injektif) olması, farklı girdilerin her zaman farklı çıktılar üretmesi demektir. Yani, fonksiyonun tanım kümesindeki her eleman, değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşir.

Matematiksel Tanım:

Bir \( f: A \to B \) fonksiyonu için, her \( x_1, x_2 \in A \) elemanından:

\[ f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2 \]

eşitliği sağlanıyorsa, \( f \) fonksiyonu bire birdir.

Bire Bir Fonksiyonun Özellikleri:

• Grafikte yatay doğru testi ile kontrol edilir: Yatay bir çizgi grafiği birden fazla noktada kesmiyorsa bire birdir.
• Değer kümesinde boşta eleman kalabilir (örneğin, \( f(x) = 2x \) bire birdir ama örten olmayabilir).
• Sabit fonksiyonlar (f(x) = c) bire bir değildir.

Örnekler:

Örnek 1: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x + 1 \) fonksiyonu bire birdir.

Kanıt: \( f(a) = f(b) \implies 3a+1 = 3b+1 \implies a = b \).

Örnek 2: \( g(x) = x^2 \) fonksiyonu, \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) için bire bir değildir çünkü \( g(2) = g(-2) = 4 \).

Ancak, tanım kümesi \( [0, \infty) \) alınırsa bire bir olur.

Özet:

• Bire bir fonksiyonlarda farklı x'ler için f(x) asla aynı olamaz.
• Doğrusal fonksiyonlar (örneğin \( ax + b \)) genellikle bire birdir.
• İkinci dereceden fonksiyonlar, tüm reel sayılarda bire bir değildir.

Answer 2

9. Sınıf Bire Bir Fonksiyon Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Bir fonksiyonun bire bir olması için her \( x_1 \neq x_2 \) için \( f(x_1) \) ____ \( f(x_2) \) olmalıdır.

2. \( f: A \rightarrow B \) fonksiyonunda \( f(a) = f(b) \) ise \( a \) ____ \( b \) olmalıdır.

Doğru/Yanlış

3. \( f(x) = x^2 \) fonksiyonu bire birdir. (D/Y)

4. \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonu bire birdir. (D/Y)

Eşleştirme

• A) \( f(x) = \sin(x) \)
• B) \( f(x) = x^3 \)
• C) \( f(x) = |x| \)

5. Bire bir fonksiyonu seçiniz: ____

6. Bire bir olmayan fonksiyonu seçiniz: ____

Açık Uçlu Sorular

7. \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonu bire bir midir? Neden?

8. \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) için \( f(x) = 5x - 2 \) fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz.

Kısa Test

9. Hangisi bire bir fonksiyondur?
a) \( f(x) = x^2 \)
b) \( f(x) = 3x \)
c) \( f(x) = \sqrt{x} \) (sadece \( x \geq 0 \))

10. \( f(x) = x^3 - x \) fonksiyonu için \( f(1) = f(-1) \) ise bu fonksiyon bire bir midir?

Cevaplar:

1: ≠

2: =

3: Y

4: D

5: B

6: C

7: Evet, her \( x \) için tek bir \( f(x) \) değeri vardır.

8: \( f(a) = f(b) \) ise \( 5a - 2 = 5b - 2 \) ve \( a = b \).

9: b

10: Hayır

Answer 3

9. Sınıf Bire Bir Fonksiyon Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bire bir fonksiyondur?
a) \( f(x) = x^2 \)
b) \( f(x) = |x| \)
c) \( f(x) = 2x + 3 \)
d) \( f(x) = \sin(x) \)
e) \( f(x) = x^3 - x \)
Cevap: c) \( f(x) = 2x + 3 \)
Çözüm: Bire bir fonksiyon, her farklı girdi için farklı bir çıktı üretir. Doğrusal fonksiyonlar (ax+b formundaki) bire birdir. Diğer seçeneklerde farklı girdiler aynı çıktıyı verebilir (örneğin \( x^2 \) için 2 ve -2 aynı sonucu verir).

Soru 2: \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun bire bir olduğunu kanıtlamak için aşağıdaki adımlardan hangisi kullanılır?
a) \( f(a) = f(b) \) ise \( a = b \) olduğunu göstermek
b) Fonksiyonun grafiğini çizip yatay doğru testi uygulamak
c) Türev alıp sabit olmadığını kontrol etmek
d) Fonksiyonun tersini alıp tanımlı olduğunu göstermek
e) \( f(x) = 0 \) denkleminin tek çözümü olduğunu göstermek
Cevap: a) \( f(a) = f(b) \) ise \( a = b \) olduğunu göstermek
Çözüm: Bire bir fonksiyon tanımı gereği, farklı girdiler farklı çıktılar üretmelidir. Matematiksel olarak \( f(a) = f(b) \) eşitliği ancak \( a = b \) durumunda sağlanıyorsa fonksiyon bire birdir. Doğrusal fonksiyonlar için bu koşul her zaman sağlanır.