Bir fonksiyonun grafiğini düşündüğümüzde, bu grafiğin bazı bölgelerinde "tepe" noktaları ve "çukur" noktaları olduğunu görürüz. İşte bu noktalara maksimum ve minimum noktalar diyoruz.
Yerel Maksimum Noktası: Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki en yüksek değer aldığı noktadır. Bu noktanın sağındaki ve solundaki değerler ona göre daha küçüktür.
Maksimum Değer: Maksimum noktanın y koordinatıdır. Yani fonksiyonun o noktada aldığı en büyük "y" değeridir.
Örneğin, bir dağın zirvesi gibi düşünebilirsiniz. Zirve noktası (x,y) maksimum nokta, deniz seviyesinden yüksekliği (y değeri) ise maksimum değerdir.
Yerel Minimum Noktası: Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki en düşük değer aldığı noktadır. Bu noktanın sağındaki ve solundaki değerler ona göre daha büyüktür.
Minimum Değer: Minimum noktanın y koordinatıdır. Yani fonksiyonun o noktada aldığı en küçük "y" değeridir.
Örneğin, bir vadi tabanı gibi düşünebilirsiniz. Vadi tabanı (x,y) minimum nokta, deniz seviyesinden yüksekliği (y değeri) ise minimum değerdir.
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun grafiği, orijinde (0,0) noktasında bir tepe altı (çukur) yapan bir paraboldür.
Bu fonksiyonun x=0 noktasının sağında ve solunda aldığı tüm değerler (örneğin, x=1 için f(1)=1 veya x=-1 için f(-1)=1) 0'dan büyüktür. Bu yüzden (0,0) noktası bir minimum noktadır.
Bu konuyu daha iyi anlamak için çeşitli fonksiyonların grafiklerini incelemek ve bu noktaları işaretlemek çok faydalı olacaktır.
Soru 1: Bir firmanın günlük kârını gösteren fonksiyon \( P(x) = -2x^2 + 80x - 600 \) şeklinde modellenmiştir. Burada \( x \) satılan ürün miktarını (bin adet), \( P(x) \) ise kârı (bin TL) göstermektedir. Buna göre firmanın maksimum kâra ulaştığında sattığı ürün miktarı (bin adet) ve bu maksimum kâr (bin TL) aşağıdakilerden hangisidir?
a) 20 ve 200
b) 25 ve 300
c) 30 ve 400
d) 35 ve 500
e) 40 ve 600
Cevap: a) 20 ve 200
Çözüm: \( P(x) = -2x^2 + 80x - 600 \) ikinci dereceden bir fonksiyondur ve başkatsayısı negatif olduğu için tepe noktasında maksimum değerini alır. Tepe noktasının x koordinatı \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{80}{2*(-2)} = 20 \)'dir. Maksimum kâr ise \( P(20) = -2*(20)^2 + 80*20 - 600 = -800 + 1600 - 600 = 200 \) bin TL'dir.
Soru 2: Aşağıda grafiği verilen \( f(x) \) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
(Grafik tanımı: x ekseninde -3, -1, 1, 3 noktaları işaretli. Parçalı bir fonksiyon: (-3,4) noktasından (-1,0) noktasına inen doğru, sonra (-1,0)'dan (1,2)'ye çıkan parabol, sonra (1,2)'den (3,-2)'ye inen doğru.)
a) Fonksiyonun mutlak minimum değeri -2'dir.
b) Fonksiyonun yerel minimum noktası (1,2)'dir.
c) Fonksiyonun mutlak maksimum değeri 2'dir.
d) Fonksiyonun x=3'te yerel minimumu vardır.
e) Fonksiyonun yerel maksimum noktası (-3,4)'tür.
Cevap: e) Fonksiyonun yerel maksimum noktası (-3,4)'tür.
Çözüm: Grafiğe göre, (-3,4) noktası kendi civarındaki en yüksek nokta olduğu için bir yerel maksimum noktasıdır. Mutlak maksimum değer 4'tür (x=-3'te). Mutlak minimum değer -2'dir (x=3'te). (1,2) noktası kendi civarında bir minimum noktası değildir.
Soru 3: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) fonksiyonunun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Cevap: c) 4
Çözüm: Yerel ekstremum noktalarını bulmak için türev alınıp sıfıra eşitlenir. \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \). Denklem 3'e bölünürse \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) olur. Bu denklemin kökleri \( (x-1)(x-3)=0 \)'dan x=1 ve x=3'tür. Yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı 1 + 3 = 4'tür.
Soru 4: \( g(x) = |x^2 - 4x + 3| \) fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Cevap: a) 0
Çözüm: Mutlak değer içindeki if
