Bir fonksiyonun grafiğini düşündüğümüzde, bu grafiğin bazı noktaları diğerlerine göre daha yüksekte (tepe noktası) veya daha alçakta (çukur noktası) olabilir. İşte bu noktalara ekstremum noktalar denir.
Maksimum ve minimum noktaların koordinatları vardır. Bu noktalar (x, y) şeklinde ifade edilir.
Örneğin, bir fonksiyonun minimum noktası (2, -4) ise;
f(x) = x² fonksiyonunun grafiği, kolları yukarı doğru bir paraboldür.
Bir fonksiyonun maksimum veya minimum noktalarını bulmanın 9. sınıf seviyesindeki en basit yolu, fonksiyonun grafiğini çizmek veya değerler tablosu oluşturmaktır. Fonksiyona farklı x değerleri verip, çıkan y değerlerini karşılaştırarak en büyük ve en küçük değerleri (maksimum ve minimum değerleri) bulabiliriz.
Önemli Not: Her fonksiyonun mutlaka bir maksimum veya minimum noktası olmak zorunda değildir. Bazı fonksiyonların grafikleri sürekli yükselir veya alçalır ve hiçbir zaman tepe veya çukur noktası oluşturmaz.
Soru 1: Gerçek sayılarda tanımlı \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre, bu fonksiyonun maksimum değeri ve bu değeri aldığı nokta aşağıdakilerden hangisidir?
a) Maksimum değer: 4, Nokta: (3, 4)
b) Maksimum değer: 5, Nokta: (1, 0)
c) Maksimum değer: 6, Nokta: (0, -5)
d) Maksimum değer: 3, Nokta: (2, 3)
e) Maksimum değer: 0, Nokta: (5, 0)
Cevap: a) Maksimum değer: 4, Nokta: (3, 4)
Çözüm: \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) ikinci dereceden fonksiyonunun katsayısı negatif olduğu için tepe noktasında maksimum değerini alır. Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2.(-1)} = 3 \)'tür. Ordinatı ise \( f(3) = -(3)^2 + 6.3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 \)'tür. Dolayısıyla fonksiyonun maksimum değeri 4'tür ve bu değeri x=3 noktasında alır. Maksimum nokta (3,4)'tür.
Soru 2: \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = x^2 - 8x + 19 \) fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun minimum değeri ve bu değere karşılık gelen x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) Minimum değer: 3, x = 4
b) Minimum değer: 5, x = 3
c) Minimum değer: 19, x = 0
d) Minimum değer: 11, x = 2
e) Minimum değer: 8, x = 1
Cevap: a) Minimum değer: 3, x = 4
Çözüm: \( f(x) = x^2 - 8x + 19 \) fonksiyonunun x² katsayısı pozitif olduğu için tepe noktasında minimum değerini alır. Tepe noktasının apsisi \( r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2.1} = 4 \)'tür. Minimum değer ise \( f(4) = (4)^2 - 8.4 + 19 = 16 - 32 + 19 = 3 \) olarak bulunur.
Soru 3: Aşağıda grafiği verilen parabolik fonksiyon ile ilgili olarak;
I. Fonksiyonun minimum noktası (2, -1)'dir.
II. Fonksiyonun minimum değeri -1'dir.
III. Fonksiyon x=2 noktasında minimum değerini alır.
yargılarından hangileri doğrudur?
a) Yalnız I
b) Yalnız II
c) I ve II
d) II ve III
e) I, II ve III
Cevap: e) I, II ve III
Çözüm: Grafikte parabolün kolları yukarı doğru olduğu için tepe noktası bir minimum noktadır. Grafiğe göre tepe noktası (2, -1)'dir. Bu nedenle fonksiyonun minimum değeri -1'dir ve bu değer x=2 noktasında alınır. Dolayısıyla üç yargı da doğrudur.
Soru 4: \( f(x) = |x - 3| + 7 \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre
