9. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri Nedir?

Question

Fonksiyonların maksimum ve minimum noktalarını anlamakta zorlanıyorum. Özellikle grafik üzerinde bu noktaları nasıl belirleyeceğim ve değerlerini nasıl bulacağım konusu kafamı karıştırıyor. Basit örneklerle açıklayabilecek var mı?

Answer 1

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası Nedir?

Bir fonksiyonun maksimum noktası, fonksiyonun alabileceği en büyük değeri aldığı noktadır. Minimum noktası ise fonksiyonun alabileceği en küçük değeri aldığı noktadır. Bu noktalar, fonksiyonun grafiğinde tepe veya çukur noktaları olarak görülür.

Maksimum ve Minimum Değer Nasıl Bulunur?

Bir fonksiyonun maksimum veya minimum değerlerini bulmak için şu adımlar izlenir:

• 1. Adım: Fonksiyonun türevi alınır (\( f'(x) \)).
• 2. Adım: Türev sıfıra eşitlenerek kritik noktalar bulunur (\( f'(x) = 0 \)).
• 3. Adım: Kritik noktaların maksimum mu minimum mu olduğu belirlenir (ikinci türev testi veya tablo yöntemi ile).

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonunun minimum noktasını bulalım.

• 1. Adım: Türev alınır: \( f'(x) = 2x - 4 \).
• 2. Adım: Türev sıfıra eşitlenir: \( 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \).
• 3. Adım: İkinci türev \( f''(x) = 2 \) (pozitif olduğu için \( x = 2 \) bir minimum noktasıdır).
• Sonuç: Minimum değer \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1 \).

Örnek 2: \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonunun maksimum noktasını bulalım.

• 1. Adım: Türev alınır: \( f'(x) = -2x + 6 \).
• 2. Adım: Türev sıfıra eşitlenir: \( -2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \).
• 3. Adım: İkinci türev \( f''(x) = -2 \) (negatif olduğu için \( x = 3 \) bir maksimum noktasıdır).
• Sonuç: Maksimum değer \( f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = 4 \).

Özet

• Maksimum nokta, fonksiyonun en büyük değer aldığı noktadır.
• Minimum nokta, fonksiyonun en küçük değer aldığı noktadır.
• Maksimum ve minimum noktalar, türev yardımıyla bulunur.
• İkinci türev testi ile noktanın türü (maksimum/minimum) belirlenir.

Answer 2

9. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Bir fonksiyonun yerel maksimum noktasında türevinin değeri ______ olur.

2. \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \) fonksiyonunun maksimum değeri ______'dir.

3. Bir fonksiyonun kritik noktalarını bulmak için ______ işlemi yapılır.

Doğru/Yanlış

4. Bir fonksiyonun mutlak minimum değeri her zaman yerel minimum değerinden küçüktür. (D/Y)

5. \( f'(x) = 0 \) denkleminin çözümü, fonksiyonun tüm maksimum ve minimum noktalarını verir. (D/Y)

Eşleştirme

• A. Maksimum Nokta
• B. Minimum Nokta
• C. Kritik Nokta

6. \( f'(x) = 0 \) veya tanımsız olduğu nokta

7. Fonksiyonun çevresindeki en büyük değeri aldığı nokta

8. Fonksiyonun çevresindeki en küçük değeri aldığı nokta

Açık Uçlu Sorular

9. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) fonksiyonunun kritik noktalarını bulunuz.

10. \( g(x) = \sin(x) \) fonksiyonunun \([0, 2\pi]\) aralığındaki mutlak minimum değeri nedir?

Kısa Test

11. \( h(x) = x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?

12. Aşağıdakilerden hangisi bir fonksiyonun maksimum noktasının özelliklerinden değildir?

• a) Türevi sıfırdır
• b) İkinci türevi negatiftir
• c) Fonksiyon artandır

Cevaplar:

1: 0

2: 5

3: türev alma

4: Y

5: Y

6: C

7: A

8: B

9: \( x = 1 \) ve \( x = 3 \)

10: -1

11: 1

12: c

Answer 3

9. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Noktası ve Değeri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \) fonksiyonunun maksimum değeri kaçtır?
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
Cevap: b) 5
Çözüm: Parabolün tepe noktası \( x = -\frac{b}{2a} = 2 \)'dir. \( f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 1 = 5 \) bulunur. Kollar aşağı baktığı için bu değer maksimumdur.

Soru 2: \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsis değeri (x) kaçtır?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Cevap: d) 3
Çözüm: Türev alınıp sıfıra eşitlenir: \( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \). Kökler \( x = 1 \) ve \( x = 3 \)'tür. İkinci türev testine göre \( x = 3 \) yerel minimum noktasıdır.

Soru 3: \( f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 13} \) fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Cevap: c) 3
Çözüm: Kök içindeki ifadenin minimumu bulunur: \( x^2 - 4x + 13 \)'ün tepe noktası \( x = 2 \)'de 9'dur. \( \sqrt{9} = 3 \) minimum değerdir.