Standart sapma, bir veri grubundaki sayıların ortalamadan (aritmetik ortalama) ne kadar uzakta olduğunun ortalama bir ölçüsüdür. Yani, verilerin ne kadar yayılmış veya dağılmış olduğunu gösteren bir istatistik ölçüsüdür.
Sadece ortalamaya bakmak bizi yanıltabilir. Örneğin, iki farklı sınıfın matematik sınav ortalaması aynı (70) olabilir. Ancak bir sınıftaki notlar birbirine çok yakın (65, 68, 70, 72, 75), diğer sınıftaki notlar ise çok dağınık (30, 40, 70, 100, 100) olabilir. İşte standart sapma, bu iki dağılım arasındaki farkı anlamamızı sağlar.
Hesaplama için izlenen adımlar şunlardır:
Ali'nin 5 gün boyunca çözdüğü soru sayıları: 10, 12, 14, 16, 18
Sonuç olarak, Ali'nin günlük çözdüğü soru sayısı ortalaması (14) etrafında yaklaşık 2.83 soruluk bir oynama (sapma) vardır.
Standart sapmanın genel formülü şu şekilde ifade edilir:
\( s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}} \)
Burada;
Soru 1: Bir matematik öğretmeni, iki farklı sınıfındaki öğrencilerin aynı sınavdan aldıkları puanların standart sapmasını hesaplamıştır. 9-A sınıfı için standart sapma 3, 9-B sınıfı için standart sapma 8 çıkmıştır. Bu sonuçlara göre aşağıdaki yorumlardan hangisi kesinlikle doğrudur?
a) 9-B sınıfının aritmetik ortalaması daha yüksektir.
b) 9-A sınıfındaki öğrenciler arasındaki puan farkı daha azdır.
c) 9-B sınıfının başarı ortalaması daha düşüktür.
d) 9-A sınıfındaki tüm öğrenciler daha yüksek puan almıştır.
e) 9-B sınıfındaki öğrenci sayısı daha fazladır.
Cevap: b) 9-A sınıfındaki öğrenciler arasındaki puan farkı daha azdır.
Çözüm: Standart sapma, bir veri grubundaki sayıların ortalamadan ne kadar saptığını (dağılımını) ölçer. Düşük standart sapma, verilerin ortalamaya yakın, yani birbirine benzer olduğunu; yüksek standart sapma ise verilerin ortalamadan uzak, yani birbirinden farklı olduğunu gösterir. 9-A sınıfının standart sapması daha düşük olduğu için bu sınıftaki öğrenci puanları birbirine daha yakındır, aralarındaki fark daha azdır. Diğer seçeneklerdeki yargılar (ortalama, başarı, öğrenci sayısı) standart sapma değeriyle kesin olarak belirlenemez.
Soru 2: Aşağıda bir firmanın 5 günlük dolar kuru (\(x\)) verilmiştir: 19.50, 19.70, 19.40, 19.60, 19.80. Bu veri grubunun standart sapması yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisidir?
a) 0.05
b) 0.10
c) 0.15
d) 0.20
e) 0.25
Cevap: c) 0.15
Çözüm: İlk adım ortalamayı (\( \bar{x} \)) bulmaktır. (19.50+19.70+19.40+19.60+19.80)/5 = 19.60. Her bir verinin ortalamadan farkının karesi alınır: (19.50-19.60)²=0.01, (19.70-19.60)²=0.01, (19.40-19.60)²=0.04, (19.60-19.60)²=0, (19.80-19.60)²=0.04. Bu karelerin toplamı 0.01+0.01+0.04+0+0.04=0.10'dur. Varyans (0.10/5)=0.02'dir. Standart sapma varyansın kareköküdür: \( \sqrt{0.02} \approx 0.14 \) yani yaklaşık 0.15'tir.
Soru 3: Bir sınıftaki 10 öğrencinin boy uzunluklarının standart sapması 6 cm'dir. Öğretmen ölçüm yaparken bir hatayı fark eder ve tüm öğrencilerin boylarını aslında ölçtüğünden 2 cm daha kısa yazdığını anlar. Tüm verilere 2 cm eklendiğinde oluşan yeni veri grubunun standart sapması için ne söylenebilir?
a) Artar
b) Azalır
c) Değişmez
d) 2 cm olur
e) 8 cm olur
Cevap: c) Değişmez
Çözüm: Bir veri grubundaki tüm değerlere aynı sabit sayı eklenir veya çıkarılırsa, verilerin aritmetik ortalaması da o sabit kadar artar veya
