Gerçek sayı aralıkları, reel sayıların belirli bir kümesini ifade eder. Bu aralıklar, sayı doğrusu üzerinde bir başlangıç ve bitiş noktası ile tanımlanır. Dört temel aralık türü vardır:
Aralıklar üzerinde birleşim, kesişim ve fark gibi işlemler yapılabilir.
İki aralığın birleşimi, her iki aralıktaki tüm elemanları içerir. Örneğin:
İki aralığın kesişimi, her iki aralıkta da bulunan ortak elemanları içerir. Örneğin:
Bir aralığın diğerinden farkı, ilk aralıkta olup ikincisinde olmayan elemanları verir. Örneğin:
Aralık işlemlerini matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz:
Soru 1: Aşağıdaki sayı aralıklarının hangisinde \( \sqrt{5} \) sayısı bulunur?
a) \( (-\infty, 2) \)
b) \( [2, 3) \)
c) \( (2, 3] \)
d) \( [3, \infty) \)
Cevap: c) \( (2, 3] \)
Çözüm: \( \sqrt{5} \approx 2.236 \) olduğundan, bu sayı \( 2 < 2.236 \leq 3 \) aralığına denk gelir. Bu da \( (2, 3] \) ile ifade edilir.
Soru 2: \( A = [-1, 4) \) ve \( B = (2, 5] \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (2, 4) \)
b) \( [2, 4] \)
c) \( [-1, 5] \)
d) \( (2, 4] \)
e) \( [-1, 2) \)
Cevap: a) \( (2, 4) \)
Çözüm: Kesişim kümesi, her iki aralıkta da ortak olan elemanları içerir. \( A \)'da 2 dahil değilken \( B \)'de 2 dahil değildir. 4 ise \( A \)'da dahil değil, \( B \)'de ise dahildir. Bu nedenle kesişim \( (2, 4) \) olur.
1. \([-3, 5]\) aralığında bulunan en büyük tam sayı ______'dir.
2. \((2, \infty)\) aralığının kapalı hali ______ şeklinde gösterilir.
3. \((-\infty, 4) \cup [7, 10]\) aralığının ortak elemanı ______'dir.
1. 0 dahil, 5 dahil
2. -1 dahil, 3 dahil değil
3. 2'ye kadar tüm sayılar
1. \((3, 7) \cap [5, 9] = [5, 7)\) ( )
2. \([-2, \infty) \cup (-\infty, 1] = \mathbb{R}\) ( )
3. \(4 \in (-\infty, 4)\) ( )
1. \([-3, 2) \cap (0, 4]\) aralığını liste yöntemiyle yazınız.
2. \((1, 5) \cup [3, 6]\) işleminin sonucunu aralık gösterimiyle belirtiniz.
1. Hangisi \([-4, 0) \cap (-2, 3]\) aralığına eşittir?
a) \([-4, 3]\) b) \((-2, 0)\) c) \([0, 3]\)
2. \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) kümesinin eşiti nedir?
a) \(\mathbb{R} \setminus (-1, 1)\) b) \(\mathbb{R} \setminus [-1, 1]\) c) \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)
Cevaplar:
1: 5, 2: \([2, \infty)\), 3: Yoktur
1: B, 2: A, 3: C
1: D, 2: D, 3: Y
1: \(\{0, 1\}\), 2: \((1, 6]\)
1: b, 2: a
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi \([-3, 5) \cap (0, 7]\) aralığının eşiti değildir?
a) \((0, 5)\)
b) \([1, 4]\)
c) \([-2, 5)\)
d) \((0, 5]\)
e) \([-3, 7]\)
Cevap: e) \([-3, 7]\) (Kesişim işlemi iki kümenin ortak elemanlarını verir. \([-3, 5) \cap (0, 7] = (0, 5)\) olmalıdır. e şıkkı birleşim aralığını gösterir.)
Soru 2: \(A = (-\infty, 4)\) ve \(B = [-2, \infty)\) kümeleri veriliyor. \(A \cup B\) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \([-2, 4)\)
b) \((-\infty, \infty)\)
c) \([-2, \infty)\)
d) \((-\infty, 4)\)
e) \(\emptyset\)
Cevap: b) \((-\infty, \infty)\) (Birleşim işlemi tüm reel sayıları kapsar çünkü \(A\) negatif sonsuzdan, \(B\) pozitif sonsuza kadar uzanır.)
Soru 3: \(x \in [1, 5]\) olmak üzere, \(2x - 3\) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Cevap: c) 7 (\(x = 5\) için \(2 \cdot 5 - 3 = 7\) olur. Aralık sürekli olduğundan 7'yi içerir.)
Soru 4: \((3, 7] \setminus [5, 9)\) işleminin sonucu nedir?
a) \((3, 5)\)
b) \([5, 7]\)
c) \((3, 9)\)
d) \((7, 9)\)
e) \((3, 5]\)
Cevap: a) \((3, 5)\) (Fark işlemi, ilk kümeden ikincinin elemanlarını çıkarır. Sonuç: \(3 < x < 5\).)
