9. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Mutlak Değer Fonksiyonları ve Nitel Özellikleri Nedir?

Question

Mutlak değer fonksiyonunu anlıyorum ama nitel özellikleri derken ne kastediliyor tam emin olamadım. Örneğin, grafikteki V şekli veya sıfır noktasındaki davranışı gibi şeyler mi? Ayrıca, bu fonksiyonların artan-azalan olduğu aralıkları nasıl belirleyeceğim konusunda kafam karıştı.

Answer 1

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Bir x gerçek sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

|x| = \( \begin{cases} x, & x \geq 0 \text{ ise} \\ -x, & x < 0 \text{ ise} \end{cases} \)

Mutlak Değer Fonksiyonu

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı, her x gerçek sayısını |x| değerine eşleyen fonksiyona mutlak değer fonksiyonu denir.

f: \( \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), f(x) = |x|

Nitel Özellikleri

• Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi: Tanım kümesi tüm gerçek sayılar (\( \mathbb{R} \)), görüntü kümesi ise 0 ve pozitif gerçek sayılardır (\( [0, \infty) \)). Çünkü uzaklık hiçbir zaman negatif olamaz.
• Artış ve Azalış: Fonksiyon x < 0 için azalan, x > 0 için artandır.
• Simetri: f(x) = |x| fonksiyonu çift fonksiyondur çünkü f(-x) = |-x| = |x| = f(x). Bu, grafiğinin y-eksenine göre simetrik olduğu anlamına gelir.
• Minimum Noktası: Fonksiyonun en küçük değeri (minimum) x=0 noktasındadır ve f(0)=0'dır.
• Grafik: Fonksiyonun grafiği, orijinde birleşen iki ışından oluşan bir "V" harfine benzer. Sol kol (x<0 için) y=-x doğrusu, sağ kol (x>0 için) ise y=x doğrusudur.
• Süreklilik: Mutlak değer fonksiyonu tüm gerçek sayılar üzerinde (süreklidir).

Genel Form: f(x) = |ax + b|

Mutlak değer fonksiyonunun içi doğrusal bir ifade olabilir. f(x) = |ax + b| şeklindeki fonksiyonların özellikleri:

• İçerisi sıfır yapan değer (x = -b/a) kritik noktadır ve grafiğin "köşe" noktasıdır.
• Grafik, bu kritik noktada kırılarak yine bir "V" şekli oluşturur.
• Grafiğin kollarının eğimi, mutlak değerin içindeki x'in katsayısının (a) mutlak değeri kadardır.

Örnek: f(x) = |x - 2| fonksiyonunun köşe noktası x=2'dir. x<2 için f(x) = -x+2 (azalan), x>2 için f(x) = x-2 (artan) olur.

Answer 2

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Bir x gerçek sayısının mutlak değeri |x| şeklinde gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

\( |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \text{ ise} \\ -x, & x < 0 \text{ ise} \end{cases} \)

Mutlak Değer Fonksiyonu

Gerçek sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir fonksiyondur. Kuralı \( f(x) = |x| \) şeklindedir. Bu fonksiyon, her \( x \) gerçek sayısını, mutlak değer içindeki ifadenin sonucuna eşler.

Örnek:
\( f(3) = |3| = 3 \)
\( f(-5) = |-5| = 5 \)
\( f(0) = |0| = 0 \)

Nitel Özellikleri

• Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi: Tanım kümesi tüm gerçek sayılardır (\( \mathbb{R} \)). Görüntü kümesi ise 0 ve pozitif sayılardan oluşur (\( \{ y \in \mathbb{R} | y \geq 0 \} \)).
• Grafiği (V Grafiği): Fonksiyonun grafiği, orijinde birleşen iki ışından oluşan bir "V" harfine benzer. Grafik, y eksenine göre simetriktir.
  • \( x \geq 0 \) için doğrunun denklemi \( y = x \)'tir (Birinci bölgede artan bir doğru).
  • \( x < 0 \) için doğrunun denklemi \( y = -x \)'tir (İkinci bölgede azalan bir doğru).
• Artan ve Azalan Olduğu Aralıklar:
  • Fonksiyon \( (-\infty, 0] \) aralığında azalandır.
  • Fonksiyon \( [0, +\infty) \) aralığında artandır.
• En Küçük Değeri (Minimum): Fonksiyonun alabileceği en küçük değer 0'dır ve bu değeri \( x = 0 \) noktasında alır.
• Simetri Özelliği: \( f(x) = |x| = |-x| = f(-x) \) olduğu için bu fonksiyon bir çift fonksiyondur. Grafiği y eksenine göre simetriktir.
• Süreklilik: Tanım kümesindeki her noktada (x=0 dahil) süreklidir. Grafiğinde herhangi bir kopukluk veya kırılma yoktur.

Daha Genel Bir Fonksiyon: \( f(x) = |ax + b| \)

Mutlak değer içindeki ifade doğrusal bir fonksiyon olabilir. Bu durumda V grafiğinin tepe noktası ve eğimi değişir.

• Tepe Noktası: Mutlak değer içindeki ifadeyi sıfır yapan \( x \) değeridir (\( ax + b = 0 \)).
• Simetri Ekseni: Tepe noktasından geçen düşey bir doğrudur.
• Eğim: \( x \)'in katsayısı olan \( a \), grafiğin kollarının eğimini belirler.