9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenarlarla İlgili Özellikler Nedir?

Question

Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açılar arasındaki ilişkiyi karıştırıyorum. Hangi açının karşısındaki kenarın daha uzun olduğunu bulurken bazen kafam karışıyor. Bu kuralı nasıl kolayca hatırlayabilirim?

Answer 1

Üçgende Açı Özellikleri

Bir üçgenin üç iç açısı vardır ve bu açıların toplamı her zaman 180 derecedir (180°). Buna Üçgenin İç Açıları Toplamı özelliği denir.

Matematiksel olarak bir ABC üçgeni için: \( \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° \)

Üçgende Kenar Özellikleri

Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. Buna Üçgen Eşitsizliği denir.

Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c olsun:

• |b - c| < a < b + c
• |a - c| < b < a + c
• |a - b| < c < a + b

Açılar ve Kenarlar Arasındaki İlişki

Bir üçgende açılar ve karşılarındaki kenarlar arasında önemli bir ilişki vardır:

• Büyük açının karşısında uzun kenar bulunur.
• Küçük açının karşısında kısa kenar bulunur.

Örneğin, bir üçgende \( \widehat{A} > \widehat{B} > \widehat{C} \) ise, kenar uzunlukları arasında da a > b > c ilişkisi vardır.

Dik Üçgende Hipotenüs

Bir dik üçgende, 90 derecelik açının (dik açı) karşısındaki kenara hipotenüs denir. Hipotenüs, dik üçgenin en uzun kenarıdır.

Answer 2

9. Sınıf Üçgende Açı ve Kenarlarla İlgili Özellikler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50°, m(∠B) = 60° ve m(∠C) = 70°'dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c sırasıyla ∠A, ∠B ve ∠C'nin karşılarındaki kenarlardır. Buna göre kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
a) a < b < c
b) a < c < b
c) c < b < a
d) b < a < c
e) c < a < b
Cevap: a) a < b < c
Çözüm: Bir üçgende bir açının ölçüsü büyüdükçe, karşısındaki kenarın uzunluğu da büyür. En küçük açı ∠A (50°), karşısındaki kenar a'dır. Sonra ∠B (60°) ve karşısındaki kenar b, en büyük açı ise ∠C (70°) ve karşısındaki kenar c'dir. Bu nedenle sıralama a < b < c şeklindedir.

Soru 2: Bir üçgenin iki kenarının uzunluğu 8 cm ve 12 cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenarının uzunluğu (x) aşağıdaki aralıkların hangisinde olamaz?
a) 4 < x < 20
b) 5 < x < 19
c) 6 < x < 18
d) 7 < x < 17
e) 8 < x < 16
Cevap: a) 4 < x < 20
Çözüm: Üçgen eşitsizliği teoremine göre, bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunlukları toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük; farkının mutlak değeri ise küçük olmalıdır. |8-12| < x < 8+12 → |4| < x < 20 → 4 < x < 20. Ancak, eşitsizlikte "küçük" ( < ) ve "büyük" ( > ) ifadeleri kullanıldığı için x, 4 cm'ye eşit veya küçük, 20 cm'ye eşit veya büyük olamaz. Bu nedenle x, 4 ile 20 arasında OLABİLİR. Soru "olamaz" diye sorduğu için, diğer seçenekler daha dar aralıklar verir ve x bu aralıkların dışında da olabilir. Fakat 4 ile 20 aralığının dışındaki hiçbir değer üçgen oluşturamaz, yani x bu aralıkta olmak ZORUNDADIR. Dolayısıyla "olamaz" diyen seçenek, bu zorunlu aralığın dışındaki bir aralıktır. Seçenek a) 4 < x < 20 aralığının kendisidir ve x bu aralıkta olmak zorunda olduğu için bu aralıkta OLAMAZ ifadesi yanlıştır. Doğru cevap a) şıkkıdır çünkü x bu aralıkta olmak zorundadır, olamaz denemez.

Soru 3: Aşağıdaki kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisi bir dar açılı üçgendir?
a) 3 cm, 4 cm, 5 cm
b) 5 cm, 12 cm, 13 cm
c) 6 cm, 7 cm, 8 cm
d) 7 cm, 24 cm, 25 cm
e) 8 cm, 15 cm, 17 cm
Cevap: c) 6 cm, 7 cm, 8 cm
Çözüm: Bir üçgenin dar açılı olup olmadığını anlamak için Pisagor bağıntısını kullanırız. En uzun kenarın karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamına eşitse dik, küçükse dar, büyükse geniş açılı üçgendir. Seçenek c'yi kontrol