9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl?

Question

Hocam bizim matematikte grup içindeki tokalaşma sayısını hesaplama sorusu var ama tam anlamadım. Mesela 5 kişilik bir grupta herkes birbiriyle bir kez tokalaşıyorsa, toplam kaç tokalaşma olur? Formülü biliyorum ama mantığını kavrayamadım, neden (n*(n-1))/2 şeklinde hesaplıyoruz?

Answer 1

Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama

Bir gruptaki insanların birbirleriyle tokalaşma sayısını hesaplamak, kombinasyon kavramıyla doğrudan ilişkilidir. Bu problemi adım adım inceleyelim:

1. Problemin Tanımı

n kişilik bir grupta, herkes birbiriyle sadece bir kez tokalaşırsa, toplam kaç tokalaşma gerçekleşir?

2. Matematiksel Formül

Bu problem, "n elemanlı bir kümenin 2'li kombinasyonları" ile çözülür. Formül:

\[ \text{Tokalaşma Sayısı} = C(n, 2) = \frac{n \times (n - 1)}{2} \]

3. Örnek Hesaplama

• Örnek 1: 5 kişilik bir grupta tokalaşma sayısı: \[ C(5, 2) = \frac{5 \times 4}{2} = 10 \]
• Örnek 2: 10 kişilik bir grupta tokalaşma sayısı: \[ C(10, 2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45 \]

4. Algoritma Adımları

Bu hesaplamayı bir algoritma ile şu şekilde ifade edebiliriz:

1. Gruptaki kişi sayısını (n) al.
2. Tokalaşma sayısını hesapla: \[ \text{sonuç} = \frac{n \times (n - 1)}{2} \]
3. Sonucu ekrana yazdır.

5. Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Tokalaşmalar çift yönlüdür (A-B ile B-A aynı sayılır).
• Formül, tekrarsız kombinasyon mantığına dayanır.
• n değeri 1'den küçükse sonuç 0 olmalıdır.

Answer 2

9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir sınıfta 10 öğrenci bulunmaktadır. Her öğrenci diğer öğrencilerle sadece bir kez tokalaşacaktır. Bu sınıftaki toplam tokalaşma sayısını hesaplamak için kullanılabilecek algoritma aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(10 \times 9\)
b) \(\frac{10 \times 9}{2}\)
c) \(10 + 9 + 8 + ... + 1\)
d) \(10^2\)
e) \(10!\)
Cevap: b) \(\frac{10 \times 9}{2}\)
Çözüm: Tokalaşmalar kombinasyonla hesaplanır. 10 kişiden 2'li kombinasyon alınır: \(C(10,2) = \frac{10 \times 9}{2} = 45\) tokalaşma.

Soru 2: Bir algoritma tasarımında, n kişinin bulunduğu bir gruptaki toplam tokalaşma sayısını hesaplamak için aşağıdaki adımlardan hangisi yanlıştır?
a) Her kişinin diğerleriyle bir kez tokalaştığını varsay
b) \(n \times (n-1)\) formülünü uygula
c) Sonucu 2'ye böl
d) Döngü kullanarak her tokalaşmayı tek tek say
e) Permütasyon yerine kombinasyon kullan
Cevap: b) \(n \times (n-1)\) formülünü uygula
Çözüm: Bu formül tekrarlı sayım yapar (A-B ve B-A aynı tokalaşmadır). Doğrusu \(\frac{n \times (n-1)}{2}\) olmalıdır.