9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl?

Question

Bu konuyu işlerken formülü anlamakta zorlandım. Kaç kişi olursa olsun herkesin birbiriyle tokalaşmasını nasıl hesaplayacağımı tam kavrayamadım. Formülsüz, mantığını anlayarak çözmek istiyorum.

Answer 1

Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısı Nedir?

Bir gruptaki herkesin birbiriyle tokalaştığını düşünelim. Bu durumda kaç tokalaşma olduğunu bulmamız isteniyor. Bu, kombinasyon adı verilen bir matematiksel kavramla çözülebilen bir problemdir.

Problemi Anlayalım

Elimizde n kişilik bir grup olsun. Herkes birbiriyle sadece bir kez tokalaşsın. Toplam tokalaşma sayısını nasıl buluruz?

Örneğin, 3 kişilik bir grupta (Ali, Veli, Ayşe):

• Ali - Veli
• Ali - Ayşe
• Veli - Ayşe

Toplam 3 tokalaşma olur.

Formül ve Mantığı

Tokalaşma sayısını bulmak için bir formül kullanırız. Bu formül, n elemanlı bir kümenin 2'li kombinasyonlarının sayısını verir.

Formül şudur:

\( T = \frac{n \cdot (n - 1)}{2} \)

Buradaki mantık şudur:

• İlk kişi, kendisi dışındaki (n-1) kişiyle tokalaşır.
• İkinci kişi, ilk kişiyle zaten tokalaştığı için (n-2) yeni kişiyle tokalaşır.
• Bu şekilde devam eder.

Aslında her tokalaşma iki kişi arasında olduğu için, bu şekilde saydığımızda her tokalaşmayı iki kez saymış oluruz (Örneğin Ali-Veli tokalaşmasını hem Ali'nin tokalaşmalarında hem de Veli'nin tokalaşmalarında sayarız). Bu nedenle toplamı 2'ye bölerek her tokalaşmayı bir kez saymış oluruz.

Algoritma Adımları

Bir bilgisayara veya akıllı bir cihaza bu hesabı yaptırmak için şu adımları takip ederiz. Buna algoritma denir.

1. Başla.
2. Kullanıcıdan grubun kişi sayısını (n) al.
3. Eğer n < 2 ise, "Tokalaşma olması için en az 2 kişi gerekir." uyarısını ver ve adım 6'ya git.
4. Hesaplamayı yap: T = (n * (n - 1)) / 2
5. Sonucu (T) ekrana yazdır.
6. Bitir.

Örnek Hesaplamalar

• n = 4 kişi için: \( T = \frac{4 \cdot (4 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
• n = 5 kişi için: \( T = \frac{5 \cdot (5 - 1)}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
• n = 10 kişi için: \( T = \frac{10 \cdot 9}{2} = \frac{90}{2} = 45 \)

Sonuç

Bir gruptaki toplam tokalaşma sayısını bulmak, kombinasyon mantığına dayanan basit ve pratik bir problemdir. Formülü \( \frac{n \cdot (n - 1)}{2} \) şeklindedir. Bu formülü kullanarak herhangi bir grup için tokalaşma sayısını kolayca hesaplayabilirsiniz.