9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Nedir? Örnek çözümlü sorular

Question

Üçgenlerde benzerlik, şekillerin aynı olmasa da açılarının eşit ve kenarlarının orantılı olması demek. Özellikle kenar oranlarını bulurken hangi bilgileri kullanacağımı karıştırıyorum. Örnek sorularla anlatırsanız daha iyi kavrarım! ?

Answer 1

Üçgenlerde Benzerlik

İki üçgenin benzer olması için karşılıklı açılarının eşit ve karşılıklı kenarlarının orantılı olması gerekir. Benzerlik, "\(\sim\)" sembolü ile gösterilir.

Benzerlik Kuralları

• Açı-Açı (A.A.) Benzerliği: İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir.
• Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) Benzerliği: İki kenarı orantılı ve bu kenarların arasındaki açılar eşitse üçgenler benzerdir.
• Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) Benzerliği: Tüm kenarları orantılı olan üçgenler benzerdir.

Örnek Çözümlü Soru 1

Soru: Aşağıdaki şekilde \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve \( |AB| = 6 \, \text{cm} \), \( |DE| = 4 \, \text{cm} \), \( |BC| = 9 \, \text{cm} \) ise \( |EF| \) kaç cm'dir?

Çözüm:

• Benzerlik oranı: \( \frac{AB}{DE} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
• \( \frac{BC}{EF} = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{9}{EF} = \frac{3}{2} \)
• İçler-dışlar çarpımı yaparsak: \( 3 \cdot EF = 18 \Rightarrow EF = 6 \, \text{cm} \)

Örnek Çözümlü Soru 2

Soru: \( \triangle ABC \) ve \( \triangle PQR \) üçgenlerinde \( \angle A = \angle P \) ve \( \angle B = \angle Q \) ise \( |AB| = 8 \, \text{cm} \), \( |PQ| = 12 \, \text{cm} \), \( |AC| = 10 \, \text{cm} \) olduğuna göre \( |PR| \) kaç cm'dir?

Çözüm:

• A.A. benzerliğinden \( \triangle ABC \sim \triangle PQR \).
• Benzerlik oranı: \( \frac{AB}{PQ} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
• \( \frac{AC}{PR} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{10}{PR} = \frac{2}{3} \)
• İçler-dışlar çarpımı: \( 2 \cdot PR = 30 \Rightarrow PR = 15 \, \text{cm} \)

Answer 2

9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu üçgenlere ________ üçgenler denir.

2. Benzerlik oranı \( \frac{2}{3} \) olan iki üçgenin alanları oranı ________ olur.

Eşleştirme

• A) AAA Benzerlik Kuralı
• B) Kenar-Açı-Kenar Benzerlik Kuralı
• C) Açı-Kenar-Açı Benzerlik Kuralı

3. İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse: _____

4. İki üçgenin karşılıklı kenarları orantılı ve bu kenarların arasındaki açılar eşitse: _____

Doğru/Yanlış

5. Benzer üçgenlerin çevreleri oranı, benzerlik oranına eşittir. (D/Y)

6. Tüm eşkenar üçgenler benzerdir. (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

7. Bir üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 10 cm'dir. Benzerlik oranı \( \frac{1}{2} \) olan diğer üçgenin kenar uzunluklarını bulunuz.

8. \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) ve \( \frac{AB}{DE} = \frac{3}{4} \) ise, \( \frac{\text{Alan}(ABC)}{\text{Alan}(DEF)} \) oranı kaçtır?

Kısa Test

9. Aşağıdakilerden hangisi üçgenlerde benzerlik kuralı değildir?

a) AAA b) KAK c) AKA d) KKK

10. Benzerlik oranı \( \frac{5}{7} \) olan iki üçgenin yükseklikleri oranı nedir?

a) \( \frac{5}{7} \) b) \( \frac{7}{5} \) c) \( \frac{25}{49} \) d) \( \frac{49}{25} \)

Cevaplar:

1: benzer, 2: \( \frac{4}{9} \), 3: A, 4: B, 5: D, 6: D, 7: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 8: \( \frac{9}{16} \), 9: c, 10: a

Answer 3

9. Sınıf Üçgenlerde Benzerlik Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. |AB| = 6 cm, |BC| = 8 cm ve |DE| = 9 cm olduğuna göre, |EF| kaç cm'dir?
a) 10 cm
b) 12 cm
c) 14 cm
d) 16 cm
e) 18 cm
Cevap: b) 12 cm
Çözüm: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarlar orantılıdır. |AB|/|DE| = |BC|/|EF| → 6/9 = 8/x → x = (9×8)/6 = 12 cm.

Soru 2: Şekilde [DE] // [BC] olmak üzere, |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 5 cm'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?
a) 7.5 cm
b) 10 cm
c) 12.5 cm
d) 15 cm
e) 17.5 cm
Cevap: c) 12.5 cm
Çözüm: Temel benzerlik teoremine göre |AD|/|AB| = |DE|/|BC| → 4/10 = 5/x → x = (10×5)/4 = 12.5 cm.

Soru 3: Benzerlik oranı 2/3 olan iki üçgenin alanları toplamı 65 cm²'dir. Küçük üçgenin alanı kaç cm²'dir?
a) 15
b) 20
c) 25
d) 30
e) 35
Cevap: b) 20
Çözüm: Benzerlik oranı kareleri alanlar oranını verir: (2/3)² = 4/9. Küçük üçgenin alanı 4k, büyük 9k ise 4k + 9k = 65 → k=5 → 4×5=20 cm².

Soru 4: ABC üçgeninde [AD] açıortay olup |AB| = 12 cm, |AC| = 18 cm ve |BD| = 4 cm'dir. |DC| kaç cm'dir?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Cevap: b) 6
Çözüm: Açıortay teoremine göre |AB|/|AC| = |BD|/|DC| → 12/18 = 4/x → x = (18×4)/12 = 6 cm.