İki üçgenin karşılıklı açıları eşit ve karşılıklı kenarları orantılı ise bu iki üçgen benzer üçgenlerdir. Benzerlik "∼" sembolü ile gösterilir. Örneğin, ABC üçgeni ile DEF üçgeni benzer ise ABC ∼ DEF şeklinde yazılır.
İki üçgenin benzer olduğunu kanıtlamak için üç temel kuraldan biri kullanılır:
Benzer iki üçgende, karşılıklı kenar uzunluklarının oranına benzerlik oranı denir. Bu oran genellikle k ile gösterilir. Benzerlik oranı 1 ise üçgenler aynı zamanda eştir (çakışık olmayabilirler).
ABC ∼ DEF üçgenleri için benzerlik oranı \( k = \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} \) şeklindedir.
Soru: Aşağıdaki şekilde [DE] // [BC] olduğuna göre, |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 5 cm ise |BC|'nin uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: [DE] // [BC] olduğu için Açı-Açı benzerliğinden ADE ∼ ABC yazabiliriz. Benzerlik oranını bulalım:
\( k = \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \)
Kenarlar orantılı olduğundan: \( \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2}{5} \)
\( \frac{5}{|BC|} = \frac{2}{5} \)
İçler dışlar çarpımı yaparsak: \( 2 \times |BC| = 5 \times 5 \)
\( 2|BC| = 25 \)
\( |BC| = 12.5 \) cm bulunur.
Soru: Aşağıdaki şekilde verilen üçgenlerde m(Â) = m(Â') ve \( \frac{|AB|}{|A'B'|} = \frac{|AC|}{|A'C'|} = \frac{1}{2} \) ise |BC| = 8 cm olduğuna göre, |B'C'| kaç cm'dir?
Çözüm: Verilenler: İki açı eşit (m(Â) = m(Â')) ve bu açıyı oluşturan kenarlar orantılı \( \left( \frac{|AB|}{|A'B'|} = \frac{|AC|}{|A'C'|} \right) \).
Bu, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K.) benzerlik kuralıdır. O halde ABC ∼ A'B'C' diyebiliriz. Benzerlik oranı \( k = \frac{1}{2} \)'dir.
Karşılıklı tüm kenarlar bu oranda olmalıdır: \( \frac{|BC|}{|B'C'|} = \frac{1}{2} \)
\( \frac{8}{|B'C'|} = \frac{1}{2}
Soru 1: Bir mimar, yapacağı binanın ön cephesini tasarlarken benzer üçgenlerden yararlanıyor. Yerdeki 2 metrelik bir çubuğun gölgesi 1,5 metre ölçülüyor. Aynı anda binanın gölgesinin uzunluğu 18 metre olarak belirleniyor. Buna göre binanın yüksekliği kaç metredir?
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
Cevap: c) 24
Çözüm: Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranı eşittir. Çubuk yüksekliği / Çubuk gölgesi = Bina yüksekliği / Bina gölgesi → \( \frac{2}{1,5} = \frac{h}{18} \). İçler dışlar çarpımı yapılırsa: \( 1,5h = 36 \) → \( h = 24 \) metre.
Soru 2: ABC ve DEF üçgenleri benzerdir. |AB| = 8 cm, |BC| = 12 cm, |AC| = 10 cm'dir. |DE| = 12 cm olduğuna göre, |EF| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 9 b) 15 c) 16 d) 18 e) 20
Cevap: d) 18
Çözüm: Benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranına eşittir. |AB|'nin karşılığı |DE| olduğundan benzerlik oranı \( k = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \)'dir. |BC|'nin karşılığı |EF| olduğundan \( |EF| = |BC| \times k = 12 \times \frac{3}{2} = 18 \) cm bulunur.
Soru 3: Şekilde [DE] // [BC]'dir. |AD| = 4 cm, |DB| = 6 cm ve |DE| = 5 cm olduğuna göre, |BC| kaç cm'dir?
a) 10,5 b) 11,5 c) 12 d) 12,5 e) 13,5
Cevap: d) 12,5
Çözüm: Temel Benzerlik Teoremi'ne göre \( \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|} \)'dir. |AB| = |AD| + |DB| = 4 + 6 = 10 cm'dir. Oran yazılırsa: \( \frac{4}{10} = \frac{5}{|BC|} \). İçler dışlar çarpımı yapılırsa: \( 4 \times |BC| = 50 \) → \( |BC| = 12,5 \) cm.
