🧮 ALES Permütasyon: Temel Kavramlar ve Çözüm Yolları
Permütasyon, sıralamanın önemli olduğu durumlarda kullanılan bir sayma yöntemidir.
- 🔢 Tanım: $n$ tane farklı nesnenin $r$ tanesinin sıralı bir şekilde düzenlenmesine $n$'nin $r$'li permütasyonu denir ve $P(n,r)$ şeklinde gösterilir.
- 📐 Formül: $P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$
- 💡 Örnek Soru: 5 farklı kitap bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?
- ✅ Çözüm: $P(5,5) = \frac{5!}{(5-5)!} = \frac{5!}{0!} = 5! = 120$
📝 ALES'te Çıkmış Permütasyon Sorusu ve Çözümü
Soru: (ALES 2018) Bir sözcükte harflerin yerleri değiştirilerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız sözcüklerin her birine o sözcüğün bir permütasyonu denir. Örneğin, "KALEM" sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen sözcüklerden bazıları "KALEM", "ALMEK", "MLEKA" dır. Buna göre, "KELEBEK" sözcüğünün harflerinin yerleri değiştirilerek elde edilen anlamlı ya da anlamsız 7 harfli sözcüklerin kaç tanesi K harfi ile başlar, K harfi ile bitmez?
Çözüm:
Öncelikle tüm durumu bulalım. "KELEBEK" sözcüğünde 2 tane E ve 2 tane K harfi bulunmaktadır.
*
1. Adım: Tüm permütasyonları bulalım: $\frac{7!}{2! \cdot 2!} = 1260$
*
2. Adım: K ile başlayanları bulalım: K _ _ _ _ _ _. K'yi başa sabitledik. Geriye "ELEBEK" kaldı. Burada 2 tane E var. Permütasyonu: $\frac{6!}{2!} = 360$
*
3. Adım: K ile başlayıp K ile bitenleri bulalım: K _ _ _ _ _ K. İki K'yi sabitledik. Geriye "ELEBE" kaldı. Burada 2 tane E var. Permütasyonu: $\frac{5!}{2!} = 60$
*
4. Adım: K ile başlayıp K ile bitmeyenleri bulalım: (K ile başlayanlar) - (K ile başlayıp K ile bitenler) = $360 - 60 = 300$
Cevap: 300
🎲 ALES Kombinasyon: Seçim Yapmanın İncelikleri
Kombinasyon, sıralamanın önemli olmadığı durumlarda kullanılan bir sayma yöntemidir.
- 🔑 Tanım: $n$ tane farklı nesne arasından $r$ tane nesnenin seçilmesine $n$'nin $r$'li kombinasyonu denir ve $C(n,r)$ şeklinde gösterilir.
- 📊 Formül: $C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
- 📌 Örnek Soru: 8 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?
- ✅ Çözüm: $C(8,3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = 56$
🎯 ALES'te Çıkmış Kombinasyon Sorusu ve Çözümü
Soru: (ALES 2020) Bir okulda bulunan 12 öğretmen arasından 3 öğretmen seçilerek bir komisyon oluşturulacaktır. Bu 12 öğretmenden belirli ikisi aynı anda bu komisyonda yer almayacağına göre, bu komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm:
*
1. Adım: Tüm durumları bulalım: $C(12,3) = \frac{12!}{3!9!} = 220$
*
2. Adım: Belirli iki öğretmenin birlikte bulunduğu durumları bulalım. İki öğretmen seçildikten sonra geriye 10 öğretmen kalır ve bu 10 öğretmen arasından 1 kişi daha seçmemiz gerekir: $C(10,1) = 10$
*
3. Adım: İstenmeyen durumu tüm durumlardan çıkaralım: $220 - 10 = 210$
Cevap: 210
🍀 ALES Olasılık: İhtimalleri Hesaplama Sanatı
Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının matematiksel olarak ifade edilmesidir.
- 📚 Tanım: Bir olayın olasılığı, istenen durumların sayısının tüm durumların sayısına oranıdır.
- 🧮 Formül: $P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}$ (A: Olay, E: Örneklem uzayı)
- ❓ Örnek Soru: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı nedir?
- ✅ Çözüm: İstenen durumlar (1, 3, 5) = 3, Tüm durumlar (1, 2, 3, 4, 5, 6) = 6. Olasılık = $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
📌 ALES'te Çıkmış Olasılık Sorusu ve Çözümü
Soru: (ALES 2021) Bir torbada 3 kırmızı, 4 beyaz ve 5 mavi bilye vardır. Torbadan rastgele iki bilye çekiliyor. Çekilen bilyelerin aynı renkte olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
*
1. Adım: Tüm durumu bulalım. Toplam 12 bilye var. İki bilye seçme olasılığımız: $C(12,2) = \frac{12!}{2!10!} = 66$
*
2. Adım: İstenen durumları bulalım. İki kırmızı seçme olasılığı: $C(3,2) = 3$. İki beyaz seçme olasılığı: $C(4,2) = 6$. İki mavi seçme olasılığı: $C(5,2) = 10$.
*
3. Adım: İstenen durumların toplamı: $3 + 6 + 10 = 19$
*
4. Adım: Olasılığı hesaplayalım: $\frac{19}{66}$
Cevap: $\frac{19}{66}$
