Matematikte, özellikle sayısal diziler konusunda karşımıza çıkan aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu özel bir dizidir. Bu sabit farka "ortak fark" denir ve genellikle \(d\) harfiyle gösterilir.
Bir \( (a_n) \) dizisi için, her \( n \geq 1 \) tam sayısı için:
\( a_{n+1} = a_n + d \)
eşitliği sağlanıyorsa, bu diziye aritmetik dizi denir. Burada \(d\) sabit bir reel sayıdır.
İlk terimi \( a_1 \) ve ortak farkı \( d \) olan bir aritmetik dizinin \(n\). terimi aşağıdaki formülle bulunur:
\( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \)
İlk terimi 5, ortak farkı 3 olan aritmetik diziyi yazalım:
Genel terim: \( a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2 \)
Dizinin herhangi ardışık iki terimi arasındaki fark her zaman \(d\)'dir:
\( a_{n+1} - a_n = d \)
Aritmetik dizide, herhangi bir terim kendisine eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasıdır:
\( a_k = \frac{a_{k-m} + a_{k+m}}{2} \) (burada \( m < k \))
Aritmetik dizinin genel terimi \(n\)'ye göre doğrusal (lineer) bir fonksiyondur: \( a_n = d \cdot n + (a_1 - d) \)
İlk terimi \( a_1 \), ortak farkı \( d \) olan aritmetik dizinin ilk \(n\) terim toplamı:
\( S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) \)
veya alternatif olarak:
\( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)
İlk terimi 2, ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin ilk 10 terim toplamını bulalım:
\( S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2 \cdot 2 + (10-1) \cdot 4) = 5 \cdot (4 + 36) = 5 \cdot 40 = 200 \)
| Özellik | Açıklama | Formül |
|---|---|---|
| Tanım | Ardışık terimler arası fark sabit | \( a_{n+1} - a_n = d \) |
| Genel Terim | \(n\). terim | \( a_n = a_1 + (n-1)d \) |
| Toplam Formülü | İlk \(n\) terim toplamı | \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \) |
| Ortalama Özelliği | Terimlerin simetrik ortalaması | \( a_k = \frac{a_{k-m} + a_{k+m}}{2} \) |
🔍 Sonuç: Aritmetik dizi, matematikte temel dizilerden biridir ve hem teorik hem de pratik uygulamalarda sıkça karşımıza çıkar. Ortak fark kavramını iyi anlamak, bu dizinin tüm özelliklerini kavramak için anahtardır.
