Aritmetik Ortalama nasıl hesaplanır zor örnekler

Question

Aritmetik ortalamanın formülünü biliyorum ama bazı sorularda sayılar çok büyük veya ondalıklı çıkıyor. Bu tür durumlarda işlemleri düzenli yapamayınca sonucu kaçırıyorum. Özellikle veri sayısı fazla olduğunda toplamayı ve bölmeyi nasıl daha pratik hale getirebilirim?

Answer 1

# Aritmetik Ortalama Nasıl Hesaplanır? Zor Örnekler ve Çözümleri

Aritmetik ortalama, istatistikte en sık kullanılan merkezi eğilim ölçülerinden biridir. Günlük hayattan akademik çalışmalara kadar pek çok alanda karşımıza çıkan bu kavramı detaylı bir şekilde inceleyelim ve zor örneklerle pekiştirelim.

📊 Aritmetik Ortalama Nedir?

Aritmetik ortalama, bir veri setindeki tüm değerlerin toplamının, veri sayısına bölünmesiyle elde edilen değerdir. Basit görünse de farklı veri türlerinde hesaplama yöntemleri değişiklik gösterebilir.

🧮 Temel Aritmetik Ortalama Formülü

Aritmetik ortalama şu formülle hesaplanır:

\[ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_n}{n} \]

Burada:

• \(\bar{x}\): Aritmetik ortalama
• \(x_1, x_2, \dots, x_n\): Veri setindeki değerler
• \(n\): Veri sayısı

🚀 Zor Aritmetik Ortalama Örnekleri ve Çözümleri

🎯 Örnek 1: Frekans Dağılımı ile Aritmetik Ortalama

Aşağıdaki tabloda bir sınıftaki öğrencilerin matematik sınavından aldığı notlar ve bu notları alan öğrenci sayıları verilmiştir. Buna göre sınıfın aritmetik ortalamasını bulunuz.

Not	Öğrenci Sayısı (f)
50	3
60	5
70	8
80	6
90	3

Çözüm:

Frekans dağılımı verildiğinde aritmetik ortalama şu formülle hesaplanır:

\[ \bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} \]

Hesaplamalar:

• 50 × 3 = 150
• 60 × 5 = 300
• 70 × 8 = 560
• 80 × 6 = 480
• 90 × 3 = 270

Toplam: 150 + 300 + 560 + 480 + 270 = 1760

Toplam öğrenci sayısı: 3 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25

\[ \bar{x} = \frac{1760}{25} = 70.4 \]

Cevap: Sınıfın matematik ortalaması 70.4'tür.

🎯 Örnek 2: Eksik Veri İçeren Problem

5 sayının aritmetik ortalaması 18'dir. Bu sayılardan biri çıkarıldığında ortalama 16 oluyor. Çıkarılan sayı kaçtır?

Çözüm:

5 sayının toplamı: 5 × 18 = 90

1 sayı çıkarıldığında kalan 4 sayının toplamı: 4 × 16 = 64

Çıkarılan sayı: 90 - 64 = 26

Cevap: Çıkarılan sayı 26'dır.

🎯 Örnek 3: Ağırlıklı Ortalama

Bir öğrencinin dönem sonu notu şu şekilde hesaplanmaktadır:

• Vize notunun %40'ı
• Final notunun %60'ı

Öğrenci vizeden 70, finalden 85 almıştır. Bu öğrencinin dönem sonu notu kaçtır?

Çözüm:

Ağırlıklı ortalama formülü:

\[ \bar{x} = \frac{(x_1 \cdot w_1) + (x_2 \cdot w_2) + \dots + (x_n \cdot w_n)}{w_1 + w_2 + \dots + w_n} \]

Hesaplama:

\[ \bar{x} = \frac{(70 \times 40) + (85 \times 60)}{40 + 60} = \frac{2800 + 5100}{100} = \frac{7900}{100} = 79 \]

Cevap: Öğrencinin dönem sonu notu 79'dur.

🎯 Örnek 4: Gruplandırılmış Verilerde Ortalama

Aşağıdaki gruplandırılmış verilerde bir iş yerindeki çalışanların maaş dağılımı verilmiştir. Çalışanların ortalama maaşını hesaplayınız.

Maaş Aralığı (Bin TL)	Çalışan Sayısı (f)
5-10	8
10-15	12
15-20	15
20-25	10
25-30	5

Çözüm:

Gruplandırılmış verilerde ortalama hesaplamak için her sınıfın orta noktası alınır:

• 5-10 aralığı → Orta nokta: (5+10)/2 = 7.5
• 10-15 aralığı → Orta nokta: (10+15)/2 = 12.5
• 15-20 aralığı → Orta nokta: (15+20)/2 = 17.5
• 20-25 aralığı → Orta nokta: (20+25)/2 = 22.5
• 25-30 aralığı → Orta nokta: (25+30)/2 = 27.5

Hesaplamalar:

• 7.5 × 8 = 60
• 12.5 × 12 = 150
• 17.5 × 15 = 262.5
• 22.5 × 10 = 225
• 27.5 × 5 = 137.5

Toplam: 60 + 150 + 262.5 + 225 + 137.5 = 835

Toplam çalışan sayısı: 8 + 12 + 15 + 10 + 5 = 50

\[ \bar{x} = \frac{835}{50} = 16.7 \]

Cevap: Çalışanların ortalama maaşı 16.700 TL'dir.

💡 Aritmetik Ortalamanın Avantajları ve Dezavantajları

✅ Avantajları:

• 👥 Tüm verileri dikkate alır
• 📐 Hesaplaması kolaydır
• 🔢 Cebirsel işlemlere uygundur
• 📊 İstatistiksel analizlerde yaygın kullanılır

❌ Dezavantajları:

• ⚡ Aşırı uç değerlerden (aykırı değerler) kolayca etkilenir
• 📈 Simetrik olmayan dağılımları yansıtmada yetersiz kalabilir
• 🔍 Gruplandırılmış verilerde tam sonuç vermez (yaklaşık değer verir)

🎓 Sonuç

Aritmetik ortalama, istatistiğin temel taşlarından biridir ve doğru şekilde hesaplanması ve yorumlanması önemlidir. Yukarıdaki zor örnekler, farklı veri türlerinde aritmetik ortalama hesaplama tekniklerini göstermektedir. Pratik yaparak bu hesaplamaları daha iyi kavrayabilirsiniz.