🍎 Türev Alma Kuralları: Temel Formüller ve Örnek Çözümler
Türev, bir fonksiyonun değişim hızını ölçmek için kullanılan matematiksel bir araçtır. AYT matematik sınavında başarılı olmak için türev alma kurallarını iyi anlamak ve uygulamak çok önemlidir. İşte temel türev alma kuralları, formüller ve örnek çözümleri:
🚀 Sabit Sayının Türevi
- 🔢 Bir sabit sayının türevi her zaman sıfırdır. Yani, eğer $f(x) = c$ (burada $c$ bir sabittir) ise, $f'(x) = 0$'dır.
- Örnek: $f(x) = 5$ ise, $f'(x) = 0$'dır.
🚀 Kuvvet Fonksiyonunun Türevi
- 💡 $f(x) = x^n$ şeklindeki bir fonksiyonun türevi $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$'dir.
- Örnek 1: $f(x) = x^3$ ise, $f'(x) = 3x^2$'dir.
- Örnek 2: $f(x) = x^{-2}$ ise, $f'(x) = -2x^{-3}$'tür.
🚀 Sabit Sayı ile Çarpılan Fonksiyonun Türevi
- 🎯 Eğer bir fonksiyon sabit bir sayı ile çarpılıyorsa, türev alırken sabit sayı aynen kalır ve fonksiyonun türevi alınır. Yani, $f(x) = c \cdot g(x)$ ise, $f'(x) = c \cdot g'(x)$'dir.
- Örnek: $f(x) = 4x^2$ ise, $f'(x) = 4 \cdot (2x) = 8x$'tir.
🚀 Toplama ve Çıkarma İşlemlerinin Türevi
- ➕ İki veya daha fazla fonksiyonun toplamının veya farkının türevi, ayrı ayrı türevlerinin toplamı veya farkına eşittir. Yani, $f(x) = u(x) + v(x)$ ise, $f'(x) = u'(x) + v'(x)$'dir. Aynı şekilde, $f(x) = u(x) - v(x)$ ise, $f'(x) = u'(x) - v'(x)$'dir.
- Örnek: $f(x) = x^3 + 2x^2 - x + 5$ ise, $f'(x) = 3x^2 + 4x - 1$'dir.
🚀 Çarpım Kuralı (Product Rule)
- ✖️ İki fonksiyonun çarpımının türevi şu şekilde bulunur: $(u(x) \cdot v(x))' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$. Yani, birinci fonksiyonun türevi çarpı ikinci fonksiyon artı birinci fonksiyon çarpı ikinci fonksiyonun türevi.
- Örnek: $f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2x)$ ise,
$f'(x) = (2x)(x^3 - 2x) + (x^2 + 1)(3x^2 - 2) = 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2 = 5x^4 - 3x^2 - 2$'dir.
🚀 Bölüm Kuralı (Quotient Rule)
- ➗ İki fonksiyonun bölümünün türevi şu şekilde bulunur: $(\frac{u(x)}{v(x)})' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$. Yani, payın türevi çarpı payda eksi pay çarpı paydanın türevi bölü paydanın karesi.
- Örnek: $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ ise, $f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$'dir.
🚀 Zincir Kuralı (Chain Rule)
- 🔗 Birleşik fonksiyonların türevini almak için kullanılır. Eğer $f(x) = g(h(x))$ ise, $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$'dir. Yani, dış fonksiyonun iç fonksiyon içindeki türevi çarpı iç fonksiyonun türevi.
- Örnek: $f(x) = (2x+1)^3$ ise, $f'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2$'dir.
🚀 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri
- 📐 $f(x) = \sin(x)$ ise, $f'(x) = \cos(x)$'dir.
- 📐 $f(x) = \cos(x)$ ise, $f'(x) = -\sin(x)$'dir.
- 📐 $f(x) = \tan(x)$ ise, $f'(x) = \sec^2(x)$'dir.
- 📐 $f(x) = \cot(x)$ ise, $f'(x) = -\csc^2(x)$'dir.
🚀 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevleri
- 📈 $f(x) = e^x$ ise, $f'(x) = e^x$'dir.
- 📈 $f(x) = a^x$ ise, $f'(x) = a^x \cdot \ln(a)$'dır.
- 🪵 $f(x) = \ln(x)$ ise, $f'(x) = \frac{1}{x}$'dir.
- 🪵 $f(x) = \log_a(x)$ ise, $f'(x) = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$'dır.
Bu kuralları ve formülleri bol bol pratik yaparak pekiştirebilir ve AYT sınavında türev sorularını kolaylıkla çözebilirsiniz. Başarılar!
