🌈 AYT Türev: Geometrik Yorumuna Giriş
Türev, matematiğin en heyecan verici konularından biri! Sadece formüllerden ibaret değil, aslında grafiklerin dilini anlamamızı sağlıyor. Türevin geometrik yorumu sayesinde, bir fonksiyonun grafiğine bakarak o fonksiyon hakkında birçok şey söyleyebiliriz.
⭐ Türevin Anlamı
Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki
anlık değişim oranıdır. Geometrik olarak ise, fonksiyonun grafiğine o noktada çizilen
teğet doğrusunun eğimidir.
🎯 Teğet ve Normal Kavramları
* 📐
Teğet: Bir eğriye sadece bir noktada değen doğrudur. Türev, bu teğetin eğimini verir.
* 📏
Normal: Teğet doğrusuna, değme noktasında dik olan doğrudur.
📝 Eğim Nasıl Bulunur?
Bir doğrunun eğimi (m), üzerindeki iki noktanın koordinatları biliniyorsa şu formülle bulunur:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Türev sayesinde, bir fonksiyonun herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimini kolayca bulabiliriz.
📈 Artan ve Azalan Fonksiyonlar
* 💚 Eğer bir fonksiyonun türevi pozitif ise ($f'(x) > 0$), o fonksiyon o aralıkta
artan demektir. Grafiği yukarı doğru çıkar.
* 💔 Eğer bir fonksiyonun türevi negatif ise ($f'(x) < 0$), o fonksiyon o aralıkta
azalan demektir. Grafiği aşağı doğru iner.
📍 Maksimum ve Minimum Noktaları
Bir fonksiyonun grafiğindeki en yüksek noktaya
maksimum nokta, en düşük noktaya ise
minimum nokta denir. Bu noktalarda türev genellikle sıfırdır ($f'(x) = 0$). Bu noktalara
kritik noktalar da denir.
✨ Test Zamanı: Bilgini Sına!
Şimdi öğrendiklerini test etme zamanı! Aşağıdaki soruları çözerek türevin geometrik yorumunu ne kadar anladığını görebilirsin.
🤔 Soru 1
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi daima artandır?
a) $f(x) = x^2$
b) $f(x) = -x$
c) $f(x) = x^3$
d) $f(x) = \frac{1}{x}$
🤔 Soru 2
$f(x) = x^3 - 3x$ fonksiyonunun yerel minimum noktası hangi x değerindedir?
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
🤔 Soru 3
Bir eğriye $x = 2$ noktasında çizilen teğetin eğimi 5 ise, bu teğet doğrusunun denklemi nedir? (Eğrinin $x=2$ noktasındaki değeri $y=7$'dir.)
a) $y = 5x + 3$
b) $y = 5x - 3$
c) $y = -5x + 3$
d) $y = -5x - 3$
🚀 Çözümler ve İpuçları
Soruları çözerken takıldıysan, aşağıdaki ipuçları sana yardımcı olabilir:
* 💡
Soru 1: Daima artan fonksiyonun türevi her zaman pozitiftir. Şıkların türevini alarak incele.
* 🔑
Soru 2: Yerel minimum noktayı bulmak için, önce türevi alıp sıfıra eşitlemelisin. Sonra ikinci türevi kontrol et.
* ✏️
Soru 3: Teğet doğrusunun denklemi $y = mx + n$ şeklindedir. Eğim (m) zaten verilmiş. Noktayı kullanarak n'yi bulabilirsin.
Umarım bu test, türevin geometrik yorumunu daha iyi anlamana yardımcı olmuştur! Matematik yolculuğunda başarılar!
