Dairesel pist problemleri

Question

Bu tip sorularda genellikle iki aracın aynı anda ve zıt yönlerde harekete başladığı durumları anlamakta zorlanıyorum. Bir de tur sayısı ve hız değiştiğinde karşılaşma sürelerini nasıl hesaplayacağımı tam kestiremiyorum.

Answer 1

📌 Dairesel Pist Problemleri Nedir?

Dairesel pist problemleri, genellikle aynı noktadan zıt yönlerde veya aynı yönde harekete başlayan cisimlerin birbirleriyle karşılaşma sürelerini veya tur sayılarını bulmaya yönelik matematik problemleridir. 🏃‍♂️💨

🎯 Temel Kavramlar

• ✅ Pist Uzunluğu: Dairesel pistin bir turunun uzunluğudur. Genellikle L harfi ile gösterilir.
• ✅ Hız: Cisimlerin birim zamanda aldığı yoldur. \( v_1 \) ve \( v_2 \) şeklinde ifade edilir.
• ✅ Zıt Yön: İki cismin birbirine doğru hareket etmesidir.
• ✅ Aynı Yön: İki cismin aynı yönde hareket etmesidir.

🔄 Zıt Yönlü Hareket

İki araç aynı noktadan, aynı anda ve zıt yönlerde harekete başlarsa, birbirlerine yaklaşma hızları, hızlarının toplamına eşit olur.

Birinci karşılaşma süresi (\( t \)) aşağıdaki formülle bulunur:

\( t = \frac{L}{v_1 + v_2} \)

Burada \( L \) pistin çevre uzunluğudur. 🏁

💡 Örnek:

Çevresi 600 metre olan dairesel bir pistte, hızları dakikada 40 m ve 60 m olan iki araç aynı noktadan aynı anda zıt yönlerde harekete başlıyor.

İlk kez ne zaman karşılaşırlar?

Çözüm:

\( t = \frac{L}{v_1 + v_2} = \frac{600}{40 + 60} = \frac{600}{100} = 6 \) dakika sonra karşılaşırlar. ⏱️

➡️ Aynı Yönlü Hareket

İki araç aynı noktadan, aynı anda ve aynı yönde harekete başlarsa, hızlı olan yavaş olanı yakalamak ister. Bu durumda yakalama hızı (hız farkı) kullanılır.

Hızlı olan aracın yavaş olanı ilk kez yakalama süresi (\( t \)):

\( t = \frac{L}{|v_1 - v_2|} \)

Bu formül, hızlı olanın, yavaş olana yetişebilmesi için bir tur fark yapması gerektiği mantığına dayanır. 🥇

💡 Örnek:

Çevresi 300 metre olan dairesel bir pistte, hızları saniyede 8 m ve 5 m olan iki araç aynı noktadan aynı yönde harekete başlıyor.

Hızlı olan araç, yavaş olanı ilk kez ne zaman yakalar?

Çözüm:

\( t = \frac{L}{v_1 - v_2} = \frac{300}{8 - 5} = \frac{300}{3} = 100 \) saniye sonra yakalar. 🏎️💨

📊 Tur Sayısı Hesaplama

Bir aracın belirli bir sürede kaç tur attığını bulmak için, aldığı toplam yolu pistin çevre uzunluğuna böleriz.

\( \text{Tur Sayısı} = \frac{\text{Toplam Yol}}{\text{Pist Uzunluğu}} = \frac{v \cdot t}{L} \)

💡 Örnek:

Hızı dakikada 90 metre olan bir araç, çevresi 450 metre olan bir pistte 10 dakika boyunca koşuyor.

Bu araç toplam kaç tur atmıştır?

Çözüm:

Toplam Yol = \( 90 \times 10 = 900 \) metre

Tur Sayısı = \( \frac{900}{450} = 2 \) tur atmıştır. 🔄

🎓 Önemli İpuçları

• 🚨 Birimlere Dikkat! Hız m/sn, yol metre, zaman saniye cinsinden verilmişse, hepsini aynı birime çevirerek işlem yap.
• 🚨 Hız Farkı: Aynı yönlü hareketlerde mutlaka |v₁ - v₂| (mutlak değer) kullan. Hangi hızın büyük olduğu önemli değildir.
• 🚨 Karşılaşma/Kavşak Noktası: Zıt yönlerde hareket eden araçlar, her \( \frac{L}{v_1 + v_2} \) süresinde bir karşılaşır.
• 🚨 Yakalama: Aynı yönde hareket eden araçlar, her \( \frac{L}{|v_1 - v_2|} \) süresinde bir aynı noktada yan yana gelir.

Bu kuralları ve formülleri iyice öğrendikten sonra, dairesel pist problemleri artık sizin için çok daha kolay olacak! 📚✨