Denklem Nedir?
Bir denklem, içinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliktir. Genellikle bilinmeyen harflerle (x, y, a, b gibi) gösterilir. Denklemi doğru yapan bu değerlere denklemin kökü veya çözümü denir.
1. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
Bu denklemler \( ax + b = 0 \) şeklindedir. Burada \( a \) ve \( b \) birer gerçek sayı, \( a \neq 0 \) ve \( x \) bilinmeyendir.
Çözüm Yolu:
- Denklemdeki sabit terimler eşitliğin bir tarafına, bilinmeyenli terimler diğer tarafına toplanır.
- Bilinmeyenin katsayısı, eşitliğin her iki tarafına bölünerek yalnız bırakılır.
Örnek: \( 3x + 7 = 1 \)
- 7'yi karşı tarafa atalım: \( 3x = 1 - 7 \)
- \( 3x = -6 \)
- Her iki tarafı 3'e bölelim: \( x = -2 \)
Çözüm kümesi: \( \{-2\} \)
2. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
Bu sistemler genellikle şu şekildedir:
\( a_1x + b_1y = c_1 \)
\( a_2x + b_2y = c_2 \)
Bu tür denklem sistemlerini çözmek için başlıca üç yöntem kullanılır:
a) Yerine Koyma Yöntemi
- Denklemlerden birinde bilinmeyenlerden biri yalnız bırakılır.
- Bulunan ifade diğer denklemde yerine konularak tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
- Bu denklem çözülür ve bulunan değer, diğer bilinmeyeni bulmak için kullanılır.
b) Yok Etme Yöntemi
- İki denklem, bilinmeyenlerden birinin katsayıları aynı (veya zıt) olacak şekilde genişletilir.
- Denklemler taraf tarafa toplanır (veya çıkarılır) ve bilinmeyenlerden biri yok edilir.
- Elde edilen tek bilinmeyenli denklem çözülür.
c) Karşılaştırma Yöntemi
- Her iki denklemde de aynı bilinmeyen yalnız bırakılır.
- Elde edilen ifadeler birbirine eşitlenir ve tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
3. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
\( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklindeki denklemlerdir (\( a \neq 0 \)). Bu denklemleri çözmek için başlıca üç yöntem vardır:
a) Çarpanlara Ayırma
Denklem, iki tane birinci dereceden ifadenin çarpımı şeklinde yazılabiliyorsa kullanılır.
Örnek: \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)
\( (x + 2)(x + 3) = 0 \) şeklinde çarpanlara ayrılır.
Buradan \( x + 2 = 0 \) veya \( x + 3 = 0 \) olur.
Çözüm kümesi: \( \{-2, -3\} \)
b) Tam Kareye Tamamlama
Denklem bir tam kare ifadenin karesi şeklinde yazılır.
Örnek: \( x^2 + 6x - 7 = 0 \)
- Sabit terim karşıya atılır: \( x^2 + 6x = 7 \)
- \( x^2 + 6x \) ifadesine tam kare olması için \( 9 \) eklenir ve çıkarılır. Aslında sadece bir tarafa ekleyip dengeyi korumak için diğer tarafa da eklenir: \( x^2 + 6x + 9 = 7 + 9 \)
- \( (x + 3)^2 = 16 \)
- Her iki tarafın karekökü alınır: \( x + 3 = 4 \) veya \( x + 3 = -4 \)
- \( x = 1 \) veya \( x = -7 \)
c) Diskriminant (Delta) Yöntemi
İkinci dereceden bir denklemin çözümü için en genel yöntemdir.
Diskriminant (Δ) şu şekilde hesaplanır: \( \Delta = b^2 - 4ac \)
Diskriminantın değerine göre kökler bulunur:
- \( \Delta > 0 \) ise, iki farklı reel kök vardır: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)
- \( \Delta = 0 \) ise, bir tane çakışık (çift) reel kök vardır: \( x = \frac{-b}{2a} \)
- \( \Delta < 0 \) ise, reel kök yoktur. Çözüm kümesi boş kümedir.
Örnek: \( 2x^2 - 4x - 6 = 0 \)
- \( a=2, b=-4, c=-6 \)
- \( \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 16 + 48 = 64 \)
- \( \Delta > 0 \) olduğu için iki farklı kök vardır.
- \( x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 2} = \frac{4 \pm 8}{4} \)
- \( x_1 = \frac{4+8}{4} = 3 \), \( x_2 = \frac{4-8}{4} = -1 \)
Çözüm kümesi: \( \{-1, 3\} \)
Önemli Uyarılar
- Denklem çözümlerini kontrol etmek için, bulduğunuz kökleri orijinal denklemde yerine koyup eşitliğin sağlanıp sağlanmadığını test edin.
- Bir denklemin çözüm kümesi, tüm reel sayılar olabilir (özdeşlik) veya boş küme olabilir (çelişki).
- Kesirli denklemlerde, paydayı sıfır yapan değerlerin çözüm kümesine alınamayacağını unutmayın.
