🧮 Devirli Ondalık Gösterimleri Rasyonel Sayıya Çevirme
Bir devirli ondalık gösterimi rasyonel sayıya çevirmek için aşağıdaki adımları izleyebiliriz:
- ✍️ Adım 1: Devirli ondalık sayıyı bir değişkene eşitleyelim. Örneğin, $x = 0.\overline{3}$
- 🔢 Adım 2: Ondalık kısmı tekrar eden basamak sayısı kadar 10'un kuvveti ile çarpalım. Bu örnekte, bir basamak tekrar ediyor, bu yüzden 10 ile çarpacağız: $10x = 3.\overline{3}$
- ➖ Adım 3: Elde ettiğimiz yeni denklemden ilk denklemi çıkaralım. Bu, devirli kısmı yok etmemizi sağlar: $10x - x = 3.\overline{3} - 0.\overline{3}$ Buradan $9x = 3$ elde ederiz.
- ➗ Adım 4: $x$'i bulmak için denklemi çözelim: $x = \frac{3}{9}$.
- ✔️ Adım 5: Kesri sadeleştirelim: $x = \frac{1}{3}$.
❓ Daha Karmaşık Örnekler
Daha karmaşık örneklerde de aynı mantığı kullanırız. Örneğin, $0.1\overline{6}$ sayısını rasyonel sayıya çevirelim:
- ✍️ Adım 1: $x = 0.1\overline{6}$
- 🔢 Adım 2: Devreden kısım bir basamak olduğu için 10 ile çarpalım: $10x = 1.\overline{6}$. Ancak, devreden kısım hala tam olarak ayrılmadı. Bu yüzden bir kez daha 10 ile çarpalım: $100x = 16.\overline{6}$
- ➖ Adım 3: Bu sefer $100x$ ve $10x$ arasındaki farkı alalım: $100x - 10x = 16.\overline{6} - 1.\overline{6}$. Bu da $90x = 15$ demektir.
- ➗ Adım 4: $x = \frac{15}{90}$
- ✔️ Adım 5: Kesri sadeleştirelim: $x = \frac{1}{6}$.
💡 Genel Formül
Bu işlemi daha genel bir formülle ifade edebiliriz. Eğer sayımız $0.a_1a_2...a_n\overline{b_1b_2...b_m}$ şeklinde ise, burada $a_i$ devretmeyen ve $b_i$ devreden basamakları temsil ediyorsa, bu sayıyı rasyonel sayıya çevirmek için:
$\frac{a_1a_2...a_nb_1b_2...b_m - a_1a_2...a_n}{\underbrace{99...9}_{m \text{ tane } 9}\underbrace{00...0}_{n \text{ tane } 0}}$
Bu formülde, paydadaki 9 sayısı devreden basamak sayısı kadar, 0 sayısı ise devretmeyen basamak sayısı kadardır.
✅ Örnek Soru Çözümü
$2. \overline{45}$ sayısını rasyonel sayıya çevirelim.
- ✍️ Adım 1: Sayıyı $x$ e eşitleyelim: $x=2.\overline{45}$
- 🔢 Adım 2: Devreden kısım iki basamaklı olduğu için 100 ile çarpalım: $100x = 245.\overline{45}$
- ➖ Adım 3: $100x - x = 245.\overline{45} - 2.\overline{45}$ Buradan $99x = 243$ elde ederiz.
- ➗ Adım 4: $x$'i bulmak için denklemi çözelim: $x = \frac{243}{99}$.
- ✔️ Adım 5: Kesri sadeleştirelim: $x = \frac{27}{11}$.
Veya formülü kullanarak:
$2. \overline{45} = 2 + 0.\overline{45} = 2 + \frac{45}{99} = 2 + \frac{5}{11} = \frac{22}{11} + \frac{5}{11} = \frac{27}{11}$
