Düşey düzlemde çembersel hareket (İp gerilmesi)

Question

İpte oluşan gerilme kuvvetinin en üst ve en alt noktalarda neden farklı olduğunu tam olarak anlayamadım. Merkezcil kuvvetle yerçekiminin bu noktalarda nasıl birleştiğini karıştırıyorum. Özellikle cismin en üst noktadan düşmeden dönebilmesi için gereken minimum hızı bulurken zorlanıyorum.

Answer 1

📏 Düşey Düzlemde Çembersel Hareket ve İp Gerilmesi

Düşey düzlemde çembersel hareket, bir cismin düşey bir düzlemde daire şeklinde hareket ettiği durumdur. Bu hareket sırasında cisme etki eden kuvvetler sürekli değişir ve bu da ip gerilmesinin farklı noktalarda farklı değerler almasına neden olur. 🎢

🔍 Temel Kavramlar

• 📌 Merkezcil Kuvvet: Cismin çembersel yörüngede kalmasını sağlayan net kuvvettir. Her noktada merkeze doğru yönelir.
• 📌 İp Gerilmesi: İpin cisme uyguladığı kuvvettir ve her zaman ip boyunca merkezden dışa doğru etki eder.
• 📌 Ağırlık: Cismin ağırlığı (\(mg\)) her zaman aşağı doğru etki eder.

🎯 Hareketin Analizi

Cismin düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yaptığını varsayalım. Hızın büyüklüğü sabit olmasa da, burada sabit olduğunu kabul edeceğiz. İnceleyeceğimiz dört önemli nokta vardır:

1. 🎪 En Üst Nokta

Bu noktada hem ip gerilmesi (\(T\)) hem de ağırlık (\(mg\)) aşağı doğru etki eder. Merkezcil kuvvet denklemi:

\(T + mg = \frac{mv^2}{r}\)

Buradan ip gerilmesi: \(T = \frac{mv^2}{r} - mg\)

Önemli: Cismin en üst noktadan düşmeden geçebilmesi için \(T \geq 0\) olmalıdır. Bu da \(v \geq \sqrt{gr}\) koşulunu gerektirir. ✅

2. 🎪 En Alt Nokta

Bu noktada ip gerilmesi yukarı, ağırlık aşağı yöndedir. Merkezcil kuvvet denklemi:

\(T - mg = \frac{mv^2}{r}\)

Buradan ip gerilmesi: \(T = \frac{mv^2}{r} + mg\)

Not: İp gerilmesinin en büyük değeri bu noktada oluşur. 📈

3. 🎪 Yatay Konum (Sağ veya Sol)

Bu noktalarda ağırlık dikey, ip gerilmesi ise yatay bileşene sahiptir. Merkezcil kuvvet sadece ip gerilmesinin yatay bileşeni tarafından sağlanır:

\(T = \frac{mv^2}{r}\)

💡 Önemli Sonuçlar

• ✅ İp gerilmesi en üst noktada minimum, en alt noktada maksimum değerini alır.
• ✅ Cismin en üst noktadan düşmeden geçebilmesi için minimum hızı \(\sqrt{gr}\) olmalıdır.
• ✅ Hareket düzgün çembersel hareket değilse (hız sabit değilse), enerji korunumu kullanılarak farklı noktalardaki hızlar bulunabilir.

🔢 Örnek Problem

Kütlesi 2 kg olan bir cisim, uzunluğu 1 m olan bir iple düşey düzlemde düzgün çembersel hareket yapmaktadır. Cismin hızı 6 m/s olduğuna göre, en üst ve en alt noktalardaki ip gerilmelerini bulunuz. (\(g = 10 m/s^2\))

Çözüm:

• 🎯 En üst nokta: \(T = \frac{mv^2}{r} - mg = \frac{2 \cdot 6^2}{1} - 2 \cdot 10 = 72 - 20 = 52 N\)
• 🎯 En alt nokta: \(T = \frac{mv^2}{r} + mg = \frac{2 \cdot 6^2}{1} + 2 \cdot 10 = 72 + 20 = 92 N\)

📚 Pratik İpuçları

• 💫 Her noktada serbest cisim diyagramı çizerek başlayın.
• 💫 Merkezcil kuvvetin daima merkeze doğru olduğunu unutmayın.
• 💫 Enerji korunumunu kullanarak farklı noktalardaki hızları bulabilirsiniz.