📊 İkinci Dereceden Eşitsizlikler
İkinci dereceden eşitsizlikler, genel olarak \( ax^2 + bx + c > 0 \), \( ax^2 + bx + c < 0 \), \( ax^2 + bx + c \geq 0 \) veya \( ax^2 + bx + c \leq 0 \) şeklinde yazılabilen eşitsizliklerdir. Burada \( a \neq 0 \) olmalıdır.
🎯 Çözüm Adımları
İkinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için şu adımları izleyebiliriz:
- 📌 Eşitsizliği sıfıra eşitle: Önce \( ax^2 + bx + c = 0 \) denklemini çözerek kökleri buluruz.
- 📌 Kökleri sayı doğrusunda işaretle: Bulduğumuz kökler sayı doğrusunu bölgelere ayırır.
- 📌 İşaret tablosu oluştur: Her bölgede ifadenin işaretini belirleriz.
- 📌 Eşitsizliğin yönüne göre çözüm kümesini yaz: Eşitsizlik > 0 ise pozitif, < 0 ise negatif olduğu aralıkları seçeriz.
🔍 Örnek 1: \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)
Önce denklemi çözelim:
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
\( (x-2)(x-3) = 0 \)
Kökler: \( x = 2 \) ve \( x = 3 \)
İşaret tablosu:
- ➡️ \( x < 2 \) için: \( (+)(-) = - \) (negatif)
- ➡️ \( 2 < x < 3 \) için: \( (+)(+) = + \) (pozitif)
- ➡️ \( x > 3 \) için: \( (+)(+) = + \) (pozitif)
Eşitsizlik > 0 olduğundan, pozitif olduğu aralıkları alırız:
Çözüm kümesi: \( (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \)
🔍 Örnek 2: \( -x^2 + 4 \leq 0 \)
Önce denklemi çözelim:
\( -x^2 + 4 = 0 \)
\( x^2 = 4 \)
Kökler: \( x = -2 \) ve \( x = 2 \)
İşaret tablosu:
- ➡️ \( x < -2 \) için: \( -(+)(+) = - \) (negatif)
- ➡️ \( -2 < x < 2 \) için: \( -(+)(-) = + \) (pozitif)
- ➡️ \( x > 2 \) için: \( -(+)(+) = - \) (negatif)
Eşitsizlik ≤ 0 olduğundan, negatif olduğu aralıkları ve sıfır olduğu noktaları alırız:
Çözüm kümesi: \( (-\infty, -2] \cup [2, \infty) \)
💡 Önemli Noktalar
- ✅ Eğer \( a < 0 \) ise, başkatsayıyı pozitif yapmak için eşitsizliğin her iki tarafını -1 ile çarpabilirsiniz, ancak eşitsizlik yönü değişir!
- ✅ Diskriminant (\( \Delta = b^2 - 4ac \)) sıfırdan küçükse ve \( a > 0 \) ise, ifade her zaman pozitiftir.
- ✅ Çift katlı köklerde işaret değişmez, teğet geçer.
📚 Pratik Yöntem
İkinci dereceden ifadelerde:
- 🎯 \( a > 0 \) ise parabol "ağzı yukarı" (∪ şeklinde)
- 🎯 \( a < 0 \) ise parabol "ağzı aşağı" (∩ şeklinde)
Bu bilgiyi kullanarak kökler arasında veya dışında hangi aralığın istediğimiz işareti verdiğini hızlıca belirleyebiliriz.
