İntegralde hacim hesabı

Question

Bu konuyu genel olarak anlıyorum ama hangi yöntemi nerede kullanacağımı karıştırıyorum. Disk yöntemi ile kabuk yöntemi arasındaki farkı tam oturtamadım. Özellikle dönel cisimlerde hangi formülü seçmem gerektiği konusunda kafam karışıyor.

Answer 1

📐 İntegral ile Hacim Hesabına Giriş

İntegral, sadece alan hesabı için değil, aynı zamanda üç boyutlu cisimlerin hacimlerini hesaplamak için de kullanılan güçlü bir araçtır. Temel mantık, bildiğimiz alan formüllerini üçüncü boyuta taşımaktır. 🎯

🧊 Disk (Dairesel Kesit) Yöntemi

Bir eğriyi, x-ekseni etrafında döndürdüğümüzde oluşan cismin hacmini bulmak için kullanılan en yaygın yöntemdir.

Mantık: Döndürme işlemi sonucu, x-eksenine dik ince dairesel diskler (yassı silindirler) oluşur. Bu disklerin alanlarını toplayarak hacmi buluruz.

Formül: \( y = f(x) \) fonksiyonu, x-ekseni ve \( x = a \), \( x = b \) doğruları arasında kalan bölge x-ekseni etrafında döndürülürse hacim:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \]

📌 Adımlar:

• 🎯 1. Adım: Döndürülecek bölgeyi ve dönme eksenini belirle.
• 🎯 2. Adım: Tipik bir diskin yarıçapını bul (bu genellikle \( f(x) \) veya \( g(x) \) olur).
• 🎯 3. Adım: Diskin alan formülünü (\( A = \pi r^2 \)) kullanarak kesit alanını x cinsinden yaz.
• 🎯 4. Adım: Bu alan ifadesini, sınırlar arasında integralini al.

💡 Örnek:

\( y = \sqrt{x} \) eğrisi, x-ekseni ve \( x = 4 \) doğrusu arasında kalan bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini bulalım.

• ➡️ İntegral Sınırları: \( x = 0 \) ile \( x = 4 \)
• ➡️ Disk Yarıçapı: \( r = \sqrt{x} \)
• ➡️ Disk Alanı: \( A(x) = \pi (\sqrt{x})^2 = \pi x \)
• ➡️ Hacim: \( V = \pi \int_{0}^{4} x dx = \pi [\frac{x^2}{2}]_{0}^{4} = \pi [8 - 0] = 8\pi \) birimküp

🛞 Halka (Washer) Yöntemi

Eğer döndürdüğümüz bölge, dönme eksenine tam değmiyorsa (yani bölgenin içinde boşluk varsa), oluşan cisim içi boş olur. Bu durumda diskler değil, halkalar (washer) oluşur.

Formül: \( y = f(x) \) (dış eğri) ve \( y = g(x) \) (iç eğri) arasında kalan bölge x-ekseni etrafında döndürülürse hacim:

\[ V = \pi \int_{a}^{b} \left( [f(x)]^2 - [g(x)]^2 \right) dx \]

💡 Örnek:

\( y = x \) ve \( y = x^2 \) eğrileri arasında kalan bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi.

• ➡️ Önce kesişim noktalarını bul: \( x = x^2 \) → \( x^2 - x = 0 \) → \( x(x-1) = 0 \) → \( x = 0 \) ve \( x = 1 \)
• ➡️ Dış yarıçap \( R = x \), iç yarıçap \( r = x^2 \)
• ➡️ Hacim: \( V = \pi \int_{0}^{1} \left( x^2 - (x^2)^2 \right) dx = \pi \int_{0}^{1} (x^2 - x^4) dx \)
• ➡️ \( V = \pi [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]_{0}^{1} = \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \pi (\frac{2}{15}) = \frac{2\pi}{15} \) birimküp

🧪 Kabuk (Silindirik Kabuk) Yöntemi

Bazı durumlarda, hacmi hesaplamak için dönme eksenine paralel ince silindirik kabuklar hayal etmek daha kolaydır. Bu yöntem özellikle y-ekseni etrafında döndürme işlemlerinde kullanışlıdır.

Formül: \( y = f(x) \) eğrisi, x-ekseni ve \( x = a \), \( x = b \) doğruları arasında kalan bölge y-ekseni etrafında döndürülürse hacim:

\[ V = 2\pi \int_{a}^{b} x f(x) dx \]

💡 Örnek:

\( y = \sqrt{x} \) eğrisi, x-ekseni ve \( x = 4 \) doğrusu arasında kalan bölgenin y-ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi.

• ➡️ İntegral Sınırları: \( x = 0 \) ile \( x = 4 \)
• ➡️ Kabuk Yarıçapı: \( r = x \)
• ➡️ Kabuk Yüksekliği: \( h = \sqrt{x} \)
• ➡️ Hacim: \( V = 2\pi \int_{0}^{4} x\sqrt{x} dx = 2\pi \int_{0}^{4} x^{3/2} dx \)
• ➡️ \( V = 2\pi [\frac{2}{5}x^{5/2}]_{0}^{4} = 2\pi [\frac{2}{5} (32)] = \frac{128\pi}{5} \) birimküp

🎯 Hangi Yöntemi Kullanmalıyım?

• 🧊 Disk Yöntemi: Döndürülen bölge dönme eksenine değiyorsa ve içi dolu bir cisim oluşuyorsa.
• 🛞 Halka Yöntemi: Döndürülen bölge dönme eksenine değmiyorsa ve içi boş (halka şeklinde) bir cisim oluşuyorsa.
• 🧪 Kabuk Yöntemi: Özellikle y-ekseni etrafında döndürme yapılıyorsa veya diğer yöntemlerle integrali zorlu ifadeler veriyorsa.

Bu yöntemlerle, integrali kullanarak birçok karmaşık cismin hacmini kolayca hesaplayabilirsin. Pratik yaparak hangi durumda hangi yöntemin daha uygun olduğunu sezgiyle anlayacaksın. 📚✨