Köklü sayılarda dört işlem

Question

Köklü sayılarla toplama ve çıkarma yaparken aynı kök derecesine sahip olmaları gerekiyor ama tam olarak nasıl yapılıyor unuttum. Çarpma ve bölmede ise kök içleri çarpılıyor sanırım fakat katsayılarla işlem yaparken kafam karışıyor.

Answer 1

Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için kökün derecesi ve içi aynı olmalıdır. Eğer bu şart sağlanıyorsa, katsayılar toplanır veya çıkarılır, ortak kök ise aynen yazılır.

Örnekler:

• \( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)
• \( 7\sqrt[3]{2} - 4\sqrt[3]{2} = (7-4)\sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2} \)
• \( \sqrt{8} + \sqrt{18} \) işlemi için önce kök içlerini sadeleştiririz: \( \sqrt{4\cdot2} + \sqrt{9\cdot2} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)

Eğer kökler farklı ise (derecesi veya içi), toplama veya çıkarma yapılamaz. İfade olduğu gibi bırakılır, örneğin \( \sqrt{2} + \sqrt{3} \).

Köklü Sayılarda Çarpma İşlemi

Köklü sayılarda çarpma işlemi yaparken, kök dereceleri aynı ise kök içleri çarpılır ve aynı kök derecesiyle yazılır.

Matematiksel olarak: \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \)

Örnekler:

• \( \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{15} \)
• \( 2\sqrt{6} \cdot 3\sqrt{2} = (2 \cdot 3) \cdot \sqrt{6 \cdot 2} = 6\sqrt{12} = 6\sqrt{4 \cdot 3} = 6 \cdot 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \)
• \( \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Eğer kök dereceleri farklı ise, önce kök dereceleri eşitlenir (OKEK alınarak), sonra çarpma işlemi yapılır.

Örnek: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} \) işlemi için kök dereceleri 2 ve 3'tür. OKEK(2,3)=6. O halde:
\( \sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{3/6} = \sqrt[6]{2^3} = \sqrt[6]{8} \)
\( \sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3} = 2^{4/6} = \sqrt[6]{2^4} = \sqrt[6]{16} \)
\( \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{16} = \sqrt[6]{8 \cdot 16} = \sqrt[6]{128} = \sqrt[6]{2^7} = 2\sqrt[6]{2} \)

Köklü Sayılarda Bölme İşlemi

Köklü sayılarda bölme işlemi yaparken, kök dereceleri aynı ise kök içleri bölünür ve aynı kök derecesiyle yazılır.

Matematiksel olarak: \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \) (b ≠ 0)

Örnekler:

• \( \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{15}{3}} = \sqrt{5} \)
• \( \frac{6\sqrt{12}}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2} \cdot \sqrt{\frac{12}{3}} = 3 \cdot \sqrt{4} = 3 \cdot 2 = 6 \)
• \( \frac{\sqrt[3]{24}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{24}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Eğer paydada köklü ifade varsa, kesri paydayı rasyonel yaparak sadeleştirmek gerekir. Yani paydayı kökten kurtarırız.

Örnek: \( \frac{3}{\sqrt{2}} \) ifadesini rasyonel yapalım. Pay ve paydayı \( \sqrt{2} \) ile çarparız:
\( \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \)

Paydada iki terimli bir köklü ifade varsa (örneğin \( a\sqrt{b} + c\sqrt{d} \)), eşlenik ifade ile genişletilir.

Örnek: \( \frac{5}{2+\sqrt{3}} \) ifadesini rasyonel yapalım. Pay ve paydayı paydanın eşleniği olan \( 2-\sqrt{3} \) ile çarparız:
\( \frac{5}{2+\sqrt{3}} = \frac{5(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{10 - 5\sqrt{3}}{4 - 3} = \frac{10 - 5\sqrt{3}}{1} = 10 - 5\sqrt{3} \)