Kombinasyon (Seçme) formülü C(n,r)

Question

Kombinasyon formülünü yazabiliyorum ama neden bu formül bu şekilde, tam olarak anlayamadım. Permütasyondan farkını ve neden r!'e böldüğümüzü biri basitçe açıklayabilir mi? Özellikle sorularda ne zaman kombinasyon kullanmam gerektiğini karıştırıyorum.

Answer 1

# Kombinasyon (Seçme) Formülü C(n,r) - Matematik Ders Notu

🎯 Kombinasyon Nedir?

Kombinasyon, bir kümenin elemanlarından sıra gözetmeksizin yapılan seçim işlemidir. Günlük hayatta "kaç farklı şekilde seçebilirim?" sorusuna cevap ararken kombinasyon kavramını kullanırız.

📊 Kombinasyon Formülü

n elemanlı bir kümeden r elemanlı alt kümelerin sayısı:

C(n,r) = \( \frac{n!}{r!(n-r)!} \)

Burada:

• n! = n faktöriyel (1'den n'e kadar tüm sayıların çarpımı)
• r! = r faktöriyel
• (n-r)! = (n-r) faktöriyel

🧮 Kombinasyon Özellikleri

• ⭐ C(n,0) = 1 (Hiçbir eleman seçmemek)
• ⭐ C(n,1) = n (Sadece bir eleman seçmek)
• ⭐ C(n,n) = 1 (Tüm elemanları seçmek)
• ⭐ C(n,r) = C(n,n-r) (Simetri özelliği)
• ⭐ C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1) (Pascal özdeşliği)

🔢 Örnek Problemler

📝 Örnek 1:

5 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm: C(5,3) = \( \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5×4×3!}{3!×2!} = \frac{5×4}{2} = 10 \)

📝 Örnek 2:

8 öğrenci arasından 5 kişilik bir takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Çözüm: C(8,5) = \( \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8×7×6×5!}{5!×3!} = \frac{8×7×6}{3×2×1} = 56 \)

⚡ Kombinasyon vs Permütasyon

• 🔀 Permütasyon: Sıralama önemli (ABC ≠ CBA)
• 🔄 Kombinasyon: Sıralama önemsiz (ABC = CBA)

İlişki: P(n,r) = C(n,r) × r!

💡 Pratik Uygulamalar

• 🏀 Takım seçimleri
• 🎯 Komite oluşturma
• 📊 İstatistiksel örneklem seçimi
• 🎲 Loto ve şans oyunları
• 🔬 Bilimsel deney tasarımları

🎓 Özet

Kombinasyon, matematikte ve günlük hayatta sıkça karşılaştığımız bir sayma yöntemidir. Sıranın önemli olmadığı durumlarda kullanılır ve C(n,r) formülü ile hesaplanır. Bu kavramı iyi anlamak, olasılık ve istatistik konularında da temel oluşturur.