📚 Mutlak Değer Nedir?
Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Sayı doğrusu üzerinde herhangi bir noktanın başlangıç noktasına (sıfır) olan uzaklığına o sayının mutlak değeri denir.
🎯 Mutlak Değerin Matematiksel Tanımı
Bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri \( |x| \) şeklinde gösterilir ve şu şekilde tanımlanır:
- ✅ \( |x| = x \) (Eğer \( x \geq 0 \) ise)
- ✅ \( |x| = -x \) (Eğer \( x < 0 \) ise)
💡 Örneklerle Mutlak Değer
- ➡️ \( |5| = 5 \)
- ➡️ \( |-7| = 7 \)
- ➡️ \( |0| = 0 \)
- ➡️ \( |-3.5| = 3.5 \)
📌 Mutlak Değerin Özellikleri
- 🔹 \( |x| \geq 0 \) (Mutlak değer her zaman pozitiftir veya sıfırdır)
- 🔹 \( |x| = |-x| \)
- 🔹 \( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \)
- 🔹 \( \left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|} \) (y ≠ 0)
- 🔹 \( |x + y| \leq |x| + |y| \) (Üçgen eşitsizliği)
🧮 Mutlak Değerli Denklemler
Mutlak değer içeren denklemleri çözerken, mutlak değerin içindeki ifadenin pozitif ve negatif durumlarını ayrı ayrı ele alırız.
📝 Örnek 1: \( |x - 3| = 5 \)
Bu denklemi çözmek için iki durum ele alınır:
- ➡️ Durum 1: \( x - 3 = 5 \) → \( x = 8 \)
- ➡️ Durum 2: \( x - 3 = -5 \) → \( x = -2 \)
Çözüm kümesi: \( \{-2, 8\} \)
📝 Örnek 2: \( |2x + 1| = 7 \)
- ➡️ Durum 1: \( 2x + 1 = 7 \) → \( 2x = 6 \) → \( x = 3 \)
- ➡️ Durum 2: \( 2x + 1 = -7 \) → \( 2x = -8 \) → \( x = -4 \)
Çözüm kümesi: \( \{-4, 3\} \)
📈 Mutlak Değerli Eşitsizlikler
Mutlak değerli eşitsizliklerde aşağıdaki kuralları kullanırız:
- ✅ \( |x| < a \) ise \( -a < x < a \)
- ✅ \( |x| > a \) ise \( x < -a \) veya \( x > a \)
📝 Örnek 1: \( |x - 2| < 4 \)
Bu eşitsizlik \( -4 < x - 2 < 4 \) şeklinde yazılabilir.
Her tarafa 2 ekleyelim: \( -2 < x < 6 \)
Çözüm kümesi: \( (-2, 6) \)
📝 Örnek 2: \( |3x + 1| \geq 5 \)
Bu eşitsizlik iki duruma ayrılır:
- ➡️ Durum 1: \( 3x + 1 \geq 5 \) → \( 3x \geq 4 \) → \( x \geq \frac{4}{3} \)
- ➡️ Durum 2: \( 3x + 1 \leq -5 \) → \( 3x \leq -6 \) → \( x \leq -2 \)
Çözüm kümesi: \( (-\infty, -2] \cup [\frac{4}{3}, \infty) \)
🎓 KPSS'de Çıkan Soru Tipleri
- 🔸 Temel mutlak değer hesaplamaları
- 🔸 Mutlak değerli denklemler
- 🔸 Mutlak değerli eşitsizlikler
- 🔸 Mutlak değer grafikleri
- 🔸 Mutlak değer içeren ifadelerin sadeleştirilmesi
💪 Pratik İpuçları
- 📌 Mutlak değer her zaman pozitif veya sıfırdır
- 📌 Mutlak değerli ifadelerde içerinin pozitif/negatif durumlarını ayrı ayrı incele
- 📌 Eşitsizliklerde yön değişimine dikkat et
- 📌 Grafik çizerek görselleştirmek anlamayı kolaylaştırır
