Mutlak değer özellikleri

Question

Mutlak değerin içindeki ifade negatifse başına eksi getiriyoruz ama pozitifse aynen çıkıyor değil mi? Özellikle mutlak değerli denklemlerde bu kuralı karıştırıyorum. Ayrıca mutlak değerin daima pozitif olması gerektiğini biliyorum ama işlemlerde nasıl davranacağımı tam oturtamadım.

Answer 1

📘 Mutlak Değer Özellikleri

Mutlak değer, bir sayının sıfıra olan uzaklığını ifade eder ve her zaman negatif olmayan bir değerdir. Matematiksel olarak, bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri \( |x| \) şeklinde gösterilir.

🎯 Temel Tanım

Bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri:

• 📌 \( |x| = x \), eğer \( x \geq 0 \) ise
• 📌 \( |x| = -x \), eğer \( x < 0 \) ise

🔍 Önemli Özellikler

1. Negatif Olmama Özelliği

Her \( x \) reel sayısı için:

\( |x| \geq 0 \)

Mutlak değer hiçbir zaman negatif olamaz. ✅

2. Simetri Özelliği

Her \( x \) reel sayısı için:

\( |-x| = |x| \)

Bir sayı ile onun negatifinin mutlak değeri eşittir. 🔄

3. Çarpma Özelliği

Her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için:

\( |x \cdot y| = |x| \cdot |y| \)

İki sayının çarpımının mutlak değeri, mutlak değerlerinin çarpımına eşittir. ✖️

4. Bölme Özelliği

Her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için (\( y \neq 0 \)):

\( \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \)

İki sayının bölümünün mutlak değeri, mutlak değerlerinin bölümüne eşittir. ➗

5. Üçgen Eşitsizliği

Her \( x \) ve \( y \) reel sayısı için:

\( |x + y| \leq |x| + |y| \)

İki sayının toplamının mutlak değeri, mutlak değerlerinin toplamından küçük veya eşittir. 📐

6. Kare ve Mutlak Değer İlişkisi

Her \( x \) reel sayısı için:

\( |x|^2 = x^2 \)

Bir sayının mutlak değerinin karesi, sayının karesine eşittir. 🔲

7. Kök ve Mutlak Değer İlişkisi

Her \( x \) reel sayısı için:

\( \sqrt{x^2} = |x| \)

Bir sayının karesinin karekökü, sayının mutlak değerine eşittir. ➕

💡 Örnekler

Örnek 1: \( |-5| = 5 \)

Örnek 2: \( |3 \cdot (-4)| = |3| \cdot |-4| = 3 \cdot 4 = 12 \)

Örnek 3: \( |7 + (-2)| = |5| = 5 \), \( |7| + |-2| = 7 + 2 = 9 \) ve \( 5 \leq 9 \)

Örnek 4: \( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3| \)

📝 Önemli Notlar

• ⚠️ Mutlak değer içindeki ifadeleri çözerken, ifadenin pozitif ve negatif durumlarını ayrı ayrı değerlendirmek gerekir.
• ⚠️ \( |x| = a \) denkleminin çözümü için \( x = a \) veya \( x = -a \) olmalıdır (burada \( a \geq 0 \)).
• ⚠️ \( |x| < a \) eşitsizliğinin çözümü \( -a < x < a \) şeklindedir (burada \( a > 0 \)).