Sıralı Olma Özelliği
Matematikte, özellikle gerçek sayılar kümesinde, sayıları karşılaştırabilmemizi sağlayan temel bir özelliktir. Bu özellik sayesinde iki farklı sayıdan birinin diğerinden büyük, küçük veya eşit olduğunu söyleyebiliriz.
Sıralama İşaretleri
Sayıları sıralarken aşağıdaki sembolleri kullanırız:
- < : Küçüktür (Solundaki sayı sağındakinden küçüktür)
- > : Büyüktür (Solundaki sayı sağındakinden büyüktür)
- = : Eşittir (İki sayı birbirine eşittir)
- ≤ : Küçük eşittir
- ≥ : Büyük eşittir
Sıralı Olma Özelliğinin Kuralları
a, b, c birer gerçek sayı olmak üzere sıralama özelliğinin üç temel kuralı vardır:
- İkili Karşılaştırma (Geçişlilik): Bir sayı diğerinden ya büyüktür, ya küçüktür ya da eşittir.
Yani, \( a < b \), \( a > b \) veya \( a = b \) ifadelerinden sadece biri doğrudur.
- Geçişlilik Özelliği: Bir sayı diğerinden küçükse ve o da üçüncüden küçükse, ilk sayı üçüncüden kesinlikle küçüktür.
Eğer \( a < b \) ve \( b < c \) ise, o zaman \( a < c \)'dir.
Aynı kural büyüktür (\(>\)) işareti için de geçerlidir.
- Toplama ve Çıkarma ile İlgili Kural: Bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitsizlik yön değiştirmez.
Eğer \( a < b \) ise, her \( c \) gerçek sayısı için \( a + c < b + c \) ve \( a - c < b - c \) olur.
- Çarpma ve Bölme ile İlgili Kural: Bu kural biraz daha dikkat gerektirir.
- Eğer \( a < b \) ve \( c > 0 \) (c pozitif) ise, \( a \cdot c < b \cdot c \) ve \( \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \) olur.
- Eğer \( a < b \) ve \( c < 0 \) (c negatif) ise, eşitsizlik yön değiştirir: \( a \cdot c > b \cdot c \) ve \( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \) olur.
Önemli: Bir eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse, eşitsizlik yönü ters çevrilmelidir.
Örnekler
- Örnek 1 (Toplama): \( 5 < 9 \) olduğunu biliyoruz. Her iki tarafa 3 ekleyelim:
\( 5 + 3 < 9 + 3 \) → \( 8 < 12 \) (Eşitsizlik bozulmadı)
- Örnek 2 (Pozitif Sayı ile Çarpma): \( 4 < 7 \) eşitsizliğini 2 ile çarpalım:
\( 4 \times 2 < 7 \times 2 \) → \( 8 < 14 \) (Eşitsizlik bozulmadı)
- Örnek 3 (Negatif Sayı ile Çarpma): \( 4 < 7 \) eşitsizliğini (-2) ile çarpalım:
\( 4 \times (-2) \ ? \ 7 \times (-2) \) → \( -8 \ ? \ -14 \)
-8, -14'ten büyük olduğu için eşitsizlik yön değiştirir: \( -8 > -14 \)
Bu özellikler, denklem çözmenin yanı sıra eşitsizlikleri çözmemizde de temel oluşturur ve matematiksel mantığımızı güçlendirir.
