Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların ölçüleri arasında doğru orantılı bir ilişki vardır. Bu temel kurala açı kenar bağıntıları denir. Kısaca özetlemek gerekirse:
Örneğin, bir ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \) ise, kenar uzunlukları arasında \( |BC| > |AC| > |AB| \) ilişkisi vardır.
Açı kenar bağıntılarını kullanabilmek için öncelikle bir üçgen oluşması gerekir. Bir üçgenin oluşabilmesi için kenar uzunlukları Üçgen Eşitsizliği kuralına uymalıdır. Bu kural şunu söyler:
Kenar uzunlukları a, b ve c olan bir üçgen için:
Kenar uzunlukları 5 cm, 8 cm ve 12 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?
Çözüm: Üçgen eşitsizliğini kontrol edelim. En uzun kenar 12 cm'dir.
Diğer eşitsizlikler her zaman sağlanacağı için (12+8>5, 12+5>8) bu üçgen çizilebilir.
ABC üçgeninde \( m(\widehat{A}) = 60^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 70^\circ \), \( m(\widehat{C}) = 50^\circ \) ise kenarları büyükten küçüğe sıralayınız.
Çözüm: Açıların büyüklük sırası: \( \widehat{B} > \widehat{A} > \widehat{C} \)
Büyük açının karşısında büyük kenar olduğundan kenar sıralaması:
Sonuç: \( |AC| > |BC| > |AB| \)
ABC üçgeninde \( |AB| = 7 \) cm, \( |AC| = 9 \) cm, \( |BC| = 5 \) cm ise açıları büyükten küçüğe sıralayınız.
Çözüm: Kenar uzunluklarının sırası: \( |AC| > |AB| > |BC| \)
Büyük kenarın karşısında büyük açı olduğundan:
Sonuç: \( m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) > m(\widehat{A}) \)
ABC üçgeninde \( |AB| = 2x + 3 \), \( |AC| =
Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50°, m(∠B) = 60° ve m(∠C) = 70° dir. Buna göre kenar uzunlukları arasındaki doğru sıralama aşağıdakilerden hangisidir?
a) |AB| < |AC| < |BC|
b) |AC| < |AB| < |BC|
c) |BC| < |AC| < |AB|
d) |BC| < |AB| < |AC|
e) |AB| < |BC| < |AC|
Cevap: c) |BC| < |AC| < |AB|
Çözüm: Bir üçgende bir kenarın uzunluğu, karşısındaki açının ölçüsü ile doğru orantılıdır. En küçük açı ∠B (60°)'nin karşısındaki kenar |AC|, en büyük açı ∠C (70°)'nin karşısındaki kenar ise |AB|'dir. Sıralama: |BC| (50°) < |AC| (60°) < |AB| (70°).
Soru 2: Kenar uzunlukları 8 cm, 5 cm ve 3 cm olan bir üçgen çizilebilir mi?
a) Evet, çünkü tüm kenarlar pozitiftir.
b) Hayır, çünkü iki kenarın toplamı üçüncü kenara eşittir.
c) Evet, çünkü iki kenarın toplamı üçüncü kenardan büyüktür.
d) Hayır, çünkü iki kenarın farkı üçüncü kenardan küçüktür.
e) Hayır, çünkü üçgen eşitsizliği sağlanmaz.
Cevap: e) Hayır, çünkü üçgen eşitsizliği sağlanmaz.
Çözüm: Bir üçgenin çizilebilmesi için üçgen eşitsizliğinin sağlanması gerekir: |8-5| < 3 < 8+5 → 3 < 3 < 13. Burada 3 < 3 ifadesi yanlıştır. Dolayısıyla bu kenarlarla bir üçgen oluşturulamaz.
Soru 3: Bir ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 7 cm'dir. Buna göre üçgenin açıları için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a) m(∠A) < 90°
b) m(∠B) > 90°
c) m(∠C) < m(∠A)
d) m(∠B) < m(∠C)
e) m(∠C) > 90°
Cevap: d) m(∠B) < m(∠C)
Çözüm: En uzun kenar |AB| = 10 cm'dir, dolayısıyla en büyük açı karşısındaki ∠C'dir. |BC| = 7 cm kenarı en kısa kenar olduğu için karşısındaki ∠A en küçük açıdır. Bu durumda açı sıralaması m(∠A) < m(∠B) < m(∠C) şeklindedir. Bu yüzden m(∠B) < m(∠C) kesinlikle doğrudur.
Soru 4: Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 6 cm ve 10 cm'dir. Bu üçgenin üçüncü kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
a) 60
b) 65
c) 70
d) 75
e) 80
Cevap: d) 75
Çözüm: Üçgen eşitsizliğine göre üçüncü kenar (x), |10-6| < x < 10+6 → 4 < x < 16 aralığında olmalıdır. x tam sayı olduğu için değerler 5, 6, 7, 8, 9
