Yatay viraj soruları (Sürtünme kuvveti = Merkezcil kuvvet)

Question

Bu tip sorularda genellikle sürtünme kuvvetinin merkezcil kuvveti sağladığını biliyorum ama hangi formülleri kullanacağımı ve nasıl bir yol izleyeceğimi karıştırıyorum. Özellikle arabanın maksimum hızını veya minimum sürtünme katsayısını bulurken formülleri birbirine nasıl eşitleyeceğim konusunda kafam karışıyor.

Answer 1

📏 Yatay Viraj ve Dönüşler

Bir arabanın virajı güvenle dönebilmesi için, tekerlekler ile yol arasındaki sürtünme kuvvetinin, aracı döndürmek için gerekli olan merkezcil kuvvete eşit veya ondan büyük olması gerekir. Bu durum, fizikteki en temel denge koşullarından biridir.

🎯 Temel Prensip: Denge Denklemi

Bir cismin yatay bir virajı kaymadan dönebilmesi için:

Maksimum Sürtünme Kuvveti ≥ Gerekli Merkezcil Kuvvet

Matematiksel olarak ifade edersek:

\( F_{sürtünme_{maks}} \geq F_{merkezcil} \)

🔍 Kuvvetleri Tanıyalım

➡️ Sürtünme Kuvveti (F_sürtünme)

• 📌 Statik sürtünme kuvvetidir. (Cisim yol yüzeyine göre kaymıyordur.)
• 📌 Formülü: \( F_{sürtünme_{maks}} = \mu_s \cdot N \)
• 📌 Yatay bir virajda, yer çekimi kuvveti dengelenmiş olduğu için Dikey Tepki Kuvveti (N) = Ağırlık (mg)'dir.
• ✅ Bu durumda: \( F_{sürtünme_{maks}} = \mu_s \cdot m \cdot g \)

🔄 Merkezcil Kuvvet (F_merkezcil)

• 📌 Dairesel hareket yapan bir cisme etki eden net kuvvettir ve daima dönme merkezine doğrudur.
• 📌 Formülü: \( F_{merkezcil} = \frac{m \cdot v^2}{r} \)
• 📌 Burada:
  • m: Cismin kütlesi
  • v: Cismin çizgisel hızı
  • r: Dönüş yarıçapı (Virajın genişliği)

⚖️ Kritik Denklem ve Sonuçları

Denge sınırında, maksimum sürtünme kuvveti, merkezcil kuvvete tam olarak eşittir:

\( \mu_s \cdot m \cdot g = \frac{m \cdot v^2}{r} \)

💡 Bu denklemde kütle (m) her iki tarafta da olduğu için sadeleşir. Bu, çok önemli bir sonuçtur: Bir aracın güvenle dönebileceği maksimum hız, aracın kütlesine bağlı değildir!

Kütle sadeleşince denklem şu hale gelir:

\( \mu_s \cdot g = \frac{v^2}{r} \)

Buradan, güvenle alınabilecek maksimum hız (v_maks) için formülü elde ederiz:

\( v_{maks} = \sqrt{\mu_s \cdot g \cdot r} \)

🧠 Formülü Yorumlama

• ✅ Sürtünme katsayısı (μ) arttıkça → Daha yüksek hızla güvenle dönülebilir. (Kuru asfalt, buzlu yoldan daha iyidir.)
• ✅ Viraj yarıçapı (r) arttıkça → Daha yüksek hızla güvenle dönülebilir. (Geniş virajlar, dar virajlardan daha kolay alınır.)
• ✅ Yer çekimi ivmesi (g) sabittir.

📝 Örnek Problem ve Çözümü

Problem: Sürtünme katsayısının 0.8 olduğu bir yolda, 50 metre yarıçaplı bir virajı dönen bir arabanın kaymadan dönebileceği maksimum hız nedir? (g = 10 m/s²)

Çözüm:

Formülümüz: \( v_{maks} = \sqrt{\mu_s \cdot g \cdot r} \)

Değerleri yerine koyalım: \( v_{maks} = \sqrt{0.8 \cdot 10 \cdot 50} \)

\( v_{maks} = \sqrt{400} \)

\( v_{maks} = 20 \) m/s

m/s'yi km/sa'ye çevirelim: \( 20 \times 3.6 = 72 \) km/sa

🎯 Cevap: Araba, bu virajı maksimum 72 km/sa hızla kaymadan dönebilir.