Şekildeki gibi yatay bir borunun kesiti A noktasında 0.04 m², B noktasında ise 0.01 m²'dir. Borudan sürtünmesiz akan suyun A noktasındaki hızı 1 m/s olduğuna göre, A ve B noktaları arasındaki basınç farkı (P_A - P_B) kaç Pa'dır? (Su yoğunluğu: 1000 kg/m³)
A) 1500Sevgili öğrenciler, bu problemde yatay bir boruda akan suyun farklı kesit alanlarına sahip noktalardaki hız ve basınç ilişkisini inceleyeceğiz. Bu tür akışkan mekaniği problemlerini çözmek için iki temel prensibi kullanırız: Süreklilik Denklemi ve Bernoulli Denklemi. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: B noktasındaki suyun hızını ($v_B$) bulmak için Süreklilik Denklemi'ni kullanalım.
Süreklilik Denklemi, sıkıştırılamaz bir akışkanın boru içindeki akış hızının kesit alanıyla ters orantılı olduğunu ifade eder. Yani, daralan kesitlerde hız artar. Formülü şöyledir:
$A_A v_A = A_B v_B$
Verilen değerler: $A_A = 0.04 \text{ m}^2$, $v_A = 1 \text{ m/s}$ ve $A_B = 0.01 \text{ m}^2$. Bu değerleri denkleme yerleştirelim:
$(0.04 \text{ m}^2) \times (1 \text{ m/s}) = (0.01 \text{ m}^2) \times v_B$
$0.04 = 0.01 v_B$
$v_B = \frac{0.04}{0.01} = 4 \text{ m/s}$
Gördüğünüz gibi, boru daraldıkça suyun hızı artmıştır.
2. Adım: A ve B noktaları arasındaki basınç farkını ($P_A - P_B$) bulmak için Bernoulli Denklemi'ni uygulayalım.
Bernoulli Denklemi, ideal bir akışkanın akışı sırasında enerjinin korunumunu ifade eder. Yatay bir boru için (yani yükseklik farkı olmadığında, $h_A = h_B$), denklem şu şekilde basitleşir:
$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2$
Burada $P_A$ ve $P_B$ sırasıyla A ve B noktalarındaki basınçlar, $\rho$ suyun yoğunluğu ($1000 \text{ kg/m}^3$), $v_A$ ve $v_B$ ise sırasıyla A ve B noktalarındaki hızlardır.
Denklemi $P_A - P_B$ şeklinde düzenleyelim:
$P_A - P_B = \frac{1}{2}\rho v_B^2 - \frac{1}{2}\rho v_A^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2}\rho (v_B^2 - v_A^2)$
3. Adım: Değerleri yerine koyarak basınç farkını hesaplayalım.
Kullanacağımız değerler: $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, $v_A = 1 \text{ m/s}$ ve $v_B = 4 \text{ m/s}$. Bu değerleri düzenlenmiş Bernoulli denklemine yerleştirelim:
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \times (1000 \text{ kg/m}^3) \times ((4 \text{ m/s})^2 - (1 \text{ m/s})^2)$
$P_A - P_B = 500 \text{ kg/m}^3 \times (16 \text{ m}^2/\text{s}^2 - 1 \text{ m}^2/\text{s}^2)$
$P_A - P_B = 500 \text{ kg/m}^3 \times (15 \text{ m}^2/\text{s}^2)$
$P_A - P_B = 7500 \text{ Pa}$
Bu sonuç, borunun daraldığı yerde (B noktası) hızın artması nedeniyle basıncın azaldığını gösterir. Yani $P_A > P_B$ ve aralarındaki fark $7500 \text{ Pa}$'dır.
Cevap C seçeneğidir.
