Bir veri setindeki değerlerin tamamı 3 ile çarpılıp 10 eklenirse, yeni oluşan veri seti için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) Varyans 9 katına çıkarSevgili öğrenciler, bu tür sorular, bir veri setindeki değerler üzerinde yapılan doğrusal dönüşümlerin (çarpma ve toplama) istatistiksel ölçütleri nasıl etkilediğini anlamamızı sağlar. Her bir seçeneği adım adım inceleyerek doğru cevabı bulalım.
Veri Seti Dönüşümü:
Başlangıçtaki veri setimizdeki bir değeri $x$ ile gösterelim. Yeni veri setindeki karşılık gelen değer ise $y$ olsun. Soruda verilen dönüşüm kuralı şöyledir: $y = 3x + 10$. Bu, her bir veri değerinin 3 ile çarpılıp üzerine 10 eklenmesi anlamına gelir.
A) Varyans 9 katına çıkar mı?
Bir veri setindeki her bir değere bir sabit sayı eklemek veya çıkarmak varyansı değiştirmez. Ancak, her bir değeri bir sabit sayı ile çarpmak varyansı o sayının karesi kadar değiştirir.
Eğer orijinal veri setinin varyansı $\sigma_x^2$ ise ve yeni veri setinin her değeri $y = ax + b$ şeklinde dönüştürülüyorsa, yeni varyans $\sigma_y^2 = a^2 \sigma_x^2$ olur.
Bizim durumumuzda $a=3$ ve $b=10$'dur. Dolayısıyla, yeni varyans $\sigma_y^2 = 3^2 \sigma_x^2 = 9 \sigma_x^2$ olacaktır.
Yani, varyans 9 katına çıkar. Bu ifade DOĞRUDUR.
B) Aritmetik ortalama 3 katının 10 fazlası olur mu?
Aritmetik ortalama, veri setindeki her bir değer üzerinde yapılan doğrusal dönüşümden doğrudan etkilenir.
Eğer orijinal veri setinin aritmetik ortalaması $\bar{x}$ ise ve yeni veri setinin her değeri $y = ax + b$ şeklinde dönüştürülüyorsa, yeni aritmetik ortalama $\bar{y} = a\bar{x} + b$ olur.
Bizim durumumuzda $a=3$ ve $b=10$'dur. Dolayısıyla, yeni aritmetik ortalama $\bar{y} = 3\bar{x} + 10$ olacaktır.
Yani, aritmetik ortalama 3 katının 10 fazlası olur. Bu ifade DOĞRUDUR.
C) Standart sapma 3 katına çıkar mı?
Standart sapma, varyansın kareköküdür. Varyansın 9 katına çıktığını biliyoruz.
Eğer orijinal veri setinin standart sapması $\sigma_x$ ise, yeni standart sapma $\sigma_y = \sqrt{\sigma_y^2} = \sqrt{a^2 \sigma_x^2} = |a| \sigma_x$ olur. (Burada $a$ pozitif olduğu için $|a|=a$)
Bizim durumumuzda $a=3$'tür. Dolayısıyla, yeni standart sapma $\sigma_y = 3 \sigma_x$ olacaktır.
Yani, standart sapma 3 katına çıkar. Bu ifade DOĞRUDUR.
D) Değişim katsayısı değişmez mi?
Değişim katsayısı (CV), standart sapmanın aritmetik ortalamaya oranıdır: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}}$.
Orijinal veri setinin değişim katsayısı $CV_x = \frac{\sigma_x}{\bar{x}}$'tir.
Yeni veri setinin değişim katsayısı $CV_y = \frac{\sigma_y}{\bar{y}}$ olacaktır.
Yukarıdaki bulgularımıza göre $\sigma_y = 3\sigma_x$ ve $\bar{y} = 3\bar{x} + 10$ olduğunu biliyoruz. Bu değerleri yerine koyarsak:
$CV_y = \frac{3\sigma_x}{3\bar{x} + 10}$
Değişim katsayısının değişmemesi için $CV_y = CV_x$ olması gerekirdi, yani $\frac{3\sigma_x}{3\bar{x} + 10} = \frac{\sigma_x}{\bar{x}}$.
Bu denklemi çözmeye çalışırsak (eğer $\sigma_x \neq 0$ ve $\bar{x} \neq 0$ ise):
$3\sigma_x \bar{x} = \sigma_x (3\bar{x} + 10)$
$3\bar{x} = 3\bar{x} + 10$
$0 = 10$
Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla, değişim katsayısı değişir. Sadece veri setindeki her bir değeri bir sabit sayı ile çarptığımızda (yani $y = ax$ ve $b=0$ olduğunda) değişim katsayısı değişmezdi. Ancak bir sabit sayı eklediğimizde ($b \neq 0$) değişim katsayısı genellikle değişir.
Yani, değişim katsayısı değişmez ifadesi YANLIŞTIR.
Yukarıdaki analizler sonucunda, A, B ve C seçeneklerindeki ifadelerin doğru olduğunu, D seçeneğindeki ifadenin ise yanlış olduğunu görmüş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
